Avalie a integral.
integral tg^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan^2 x = sec^2 x - 1 de uma forma que facilite a integração. Sabemos que , mas vamos usar uma identidade trigonométrica importante:
Isso nos ajuda a reduzir a expressão da potência ímpar de .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes: uma parte par que podemos manipular usando a identidade acima e uma parte ímpar que se encaixa bem com a substituição. Reescrevemos integral tan^5 x , dx = integral tan^4 x cdot tan x , dx como tan^4 x = (tan^2 x)^2 = (sec^2 x - 1)^2 :
Agora, substituímos usando a identidade :

Passo 4

Expandindo (sec^2 x - 1)^2 = sec^4 x - 2sec^2 x + 1 :
integral (sec^4 x - 2sec^2 x + 1) cdot tan x , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos usar substituição para facilitar a integração. Seja integral (sec^4 x - 2sec^2 x + 1) cdot tan x , dx = integral (u^4 - 2u^2 + 1) cdot duu , então integral (u^3 - 2u + u^-1) , du . Observamos que na nossa integral temos , então precisamos ajustar os termos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral u^3 , du = u^44
integral -2u , du = -u^2
integral u^-1 , du = ln |u|
Juntando tudo:
u^44 - u^2 + ln |u| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos sec^4 x4 - sec^2 x + ln |sec x| + C de volta na expressão:

Resposta

A integral de sec^4 x4 - sec^2 x + ln |sec x| + C é:
Onde é a constante de integração.

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