Avalie a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a integração. Sabemos que , mas vamos usar uma identidade trigonométrica importante:
Isso nos ajuda a reduzir a expressão da potência ímpar de .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes: uma parte par que podemos manipular usando a identidade acima e uma parte ímpar que se encaixa bem com a substituição. Reescrevemos como :
Agora, substituímos usando a identidade :

Passo 4

Expandindo :
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos usar substituição para facilitar a integração. Seja , então . Observamos que na nossa integral temos , então precisamos ajustar os termos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Juntando tudo:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral de é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Calcule a integral.
Avalie a integral.
Calcule.