Avalie a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que facilite a integração. Sabemos que
, mas vamos usar uma identidade trigonométrica importante:
Isso nos ajuda a reduzir a expressão da potência ímpar de
.
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes: uma parte par que podemos manipular usando a identidade acima e uma parte ímpar que se encaixa bem com a substituição. Reescrevemos
como
:
Agora, substituímos
usando a identidade
:
Passo 4
Expandindo
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos usar substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Observamos que na nossa integral temos
, então precisamos ajustar os termos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Juntando tudo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Calcule a integral.
Avalie a integral.
Calcule.