Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para verificar se a integral
converge ou diverge. Se convergir, a gente também calcula o valor dela. Aqui estamos trabalhando com integrais impróprias, que são aquelas em que a função apresenta algum comportamento estranho no intervalo de integração, como descontinuidades ou infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
pode apresentar problemas no intervalo de
. Observando o denominador,
, vemos que é zero quando
. Isso indica que há uma descontinuidade nesse ponto, o que torna a integral imprópria.
Passo 3
Para tratar essa integral imprópria, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes: de
a
e de
a
. Assim, a integral original fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente para ver se elas convergem ou divergem.
Primeiro, consideremos
. Neste intervalo,
varia de
a
, e a função
está bem definida, já que estamos falando da raiz cúbica de números negativos, que são reais. Portanto, essa parte da integral não apresenta problemas de convergência.
Passo 5
Agora, vamos analisar
. Aqui,
varia de
a
. Quando
se aproxima de
(ou seja,
se aproxima de
), a função
tende ao infinito, o que pode causar divergência na integral. Precisamos verificar se essa infinidade é “manejável” para que a integral ainda possa convergir.
Passo 6
Para verificar a convergência, vamos calcular as integrais separadamente.
Primeiro, calculando
:
Fazendo a substituição
,
, os limites de integração ficam de
a
. Assim, a integral se torna:
Integrando, temos:
Aplicando os limites:
Como estamos lidando com áreas, consideramos o valor absoluto, resultando em
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Novamente, usando
,
, os limites agora são de
a
. A integral fica:
Integrando:
Aplicando os limites:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Como ambas as integrais são finitas, a integral original converge.
Resposta
A integral imprópria converge e seu valor é
.
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Avalie a integral.
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