Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral-2^0 1(x+1)^1 / 3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para verificar se a integral
integral-2^0 1(x+1)^1 / 3 , dx
converge ou diverge. Se convergir, a gente também calcula o valor dela. Aqui estamos trabalhando com integrais impróprias, que são aquelas em que a função apresenta algum comportamento estranho no intervalo de integração, como descontinuidades ou infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode apresentar problemas no intervalo de . Observando o denominador, , vemos que é zero quando . Isso indica que há uma descontinuidade nesse ponto, o que torna a integral imprópria.

Passo 3

Para tratar essa integral imprópria, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes: de integral-2^0 1(x+1)^1 / 3 , dx = integral-2^-1 1(x+1)^1 / 3 , dx + integral-1^0 1(x+1)^1 / 3 , dx a e de a . Assim, a integral original fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente para ver se elas convergem ou divergem.
Primeiro, consideremos . Neste intervalo, varia de a , e a função está bem definida, já que estamos falando da raiz cúbica de números negativos, que são reais. Portanto, essa parte da integral não apresenta problemas de convergência.

Passo 5

Agora, vamos analisar . Aqui, varia de a . Quando se aproxima de (ou seja, se aproxima de ), a função tende ao infinito, o que pode causar divergência na integral. Precisamos verificar se essa infinidade é “manejável” para que a integral ainda possa convergir.

Passo 6

Para verificar a convergência, vamos calcular as integrais separadamente.
Primeiro, calculando integral-1^0 1u^1/3 , du :
Fazendo a substituição integral u^-1/3 , du = u^2/32/3 + C = 32 u^2/3 + C , 32 [ 0^2/3 - (-1)^2/3 ] = 32 (0 - 1) = -32 , os limites de integração ficam de a . Assim, a integral se torna:
Integrando, temos:
Aplicando os limites:
Como estamos lidando com áreas, consideramos o valor absoluto, resultando em .

Passo 7

Agora, vamos calcular integral0^1 1u^1/3 , du . Novamente, usando integral u^-1/3 , du = u^2/32/3 + C = 32 u^2/3 + C , 32 (1^2/3 - 0^2/3) = 32 (1 - 0) = 32 , os limites agora são de a . A integral fica:
Integrando:
Aplicando os limites:

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
32 + 32 = 3
Como ambas as integrais são finitas, a integral original converge.

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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