Avalie a integral.
integral sen(5 x) sen(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos avaliar a integral . Aqui estamos lidando com uma integral de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de senos em uma soma de cossenos, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de senos em termos de cossenos:
Aplicando essa identidade com sen(A) sen(B) = cos(A - B) - cos(A + B)2 e sen(5x) sen(2x) = cos(5x - 2x) - cos(5x + 2x)2 = cos(3x) - cos(7x)2 , temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral sen(5x) sen(2x) , dx = integral cos(3x) - cos(7x)2 , dx = 12 integral cos(3x) , dx - 12 integral cos(7x) , dx é , onde 12 integral cos(3x) , dx = 12 ( sen(3x)3 ) = sen(3x)6 é uma constante.
Então,
e

Passo 4

Agora, juntando os resultados e adicionando a constante de integração sen(3x)6 - sen(7x)14 + C :
Para simplificar, podemos colocar todas as frações sobre um denominador comum, que é 42:

Resposta

A integral avaliada é:

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