Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver é calcular a integral usando substituições trigonométricas. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para facilitar a integração quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada: . Para facilitar a integração, é útil completar o quadrado nesse polinômio.
Completo o quadrado para :
Agora, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para resolver essa integral. Observamos que temos a forma , onde e .
A substituição trigonométrica apropriada nesse caso é:
Dessa forma, .
Passo 4
Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
A integral de é uma integral padrão:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então: