Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas: integral 1raizx^2-6 x+13 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver é calcular a integral usando substituições trigonométricas. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para facilitar a integração quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada: x^2 - 6x + 13 = (x^2 - 6x + 9) + 4 = (x - 3)^2 + 4 . Para facilitar a integração, é útil completar o quadrado nesse polinômio.
Completo o quadrado para integral 1raiz(x - 3)^2 + 4 , dx :
Agora, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para resolver essa integral. Observamos que temos a forma u = a tantheta ou seja, x - 3 = 2 tantheta , onde e .
A substituição trigonométrica apropriada nesse caso é:
Dessa forma, .

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 1raiz(2 tantheta)^2 + 4 cdot 2 sec^2theta , dtheta = integral 1raiz4 tan^2theta + 4 cdot 2 sec^2theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz4 tan^2theta + 4 = raiz4 (tan^2theta + 1) = raiz4 sec^2theta = 2 sectheta
Então, a integral fica:
integral 12 sectheta cdot 2 sec^2theta , dtheta = integral sectheta , dtheta

Passo 5

A integral de integral sectheta , dtheta = ln|sectheta + tantheta| + C é uma integral padrão:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original tantheta = x - 32 Rightarrow sectheta = raiz1 + tan^2theta = raiz1 + (x - 32)^2 = raiz(x - 3)^2 + 42 . Lembrando que fizemos a substituição ln|sectheta + tantheta| = ln|raiz(x - 3)^2 + 42 + x - 32| = ln|raiz(x - 3)^2 + 4 + (x - 3)2| , então:
ln|raiz(x - 3)^2 + 4 + (x - 3)| + C
Portanto:
Podemos simplificar a constante:

Resposta

A integral ln|raiz(x - 3)^2 + 4 + (x - 3)| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados