Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver é calcular a integral usando substituições trigonométricas. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para facilitar a integração quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada: . Para facilitar a integração, é útil completar o quadrado nesse polinômio.
Completo o quadrado para :
Agora, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para resolver essa integral. Observamos que temos a forma , onde e .
A substituição trigonométrica apropriada nesse caso é:
Dessa forma, .

Passo 4

Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

A integral de é uma integral padrão:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então:
Portanto:
Podemos simplificar a constante:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Avalie a integral.
Calcule.