Calcule.
integral x+1x(x-2)(x+3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais usando frações parciais. Para isso, vamos precisar quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever x+1x(x-2)(x+3) = Ax + Bx-2 + Cx+3 como a soma de frações com denominadores mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de x + 1 = A(x-2)(x+3) + Bx(x+3) + Cx(x-2) , x + 1 = A(x^2 + x - 6) + B(x^2 + 3x) + C(x^2 - 2x) e x + 1 = (A + B + C)x^2 + (A + 3B - 2C)x - 6A . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por A + B + C = 0 A + 3B - 2C = 1 -6A = 1 para eliminar os denominadores:
310 + C = 16 Rightarrow C = 16 - 310 = 530 - 930 = -430 = -215
Expandindo os termos:
A = -16, B = 310, C = -215
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação:
  • Substituindo na primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
Agora, resolvendo e :
Multiplicando a primeira equação por 2:
Somando com a segunda equação:
Substituindo na equação :
Então, os valores são:

Passo 4

Agora que temos integral x+1x(x-2)(x+3) , dx = integral ( -16 cdot 1x + 310 cdot 1x-2 - 215 cdot 1x+3 ) dx , e , podemos reescrever a integral original dividindo-a nas frações parciais encontradas:

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente. Sabemos que integral -16 cdot 1x , dx &= -16 ln|x| integral 310 cdot 1x-2 , dx &= 310 ln|x-2| integral -215 cdot 1x+3 , dx &= -215 ln|x+3| . Aplicando isso:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
-16 ln|x| + 310 ln|x-2| - 215 ln|x+3| + C

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