Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais usando frações parciais. Para isso, vamos precisar quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever como a soma de frações com denominadores mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, resolvendo e :
Multiplicando a primeira equação por 2:
Somando com a segunda equação:
Substituindo na equação :
Então, os valores são:
Passo 4
Agora que temos integral x+1x(x-2)(x+3) , dx = integral ( -16 cdot 1x + 310 cdot 1x-2 - 215 cdot 1x+3 ) dx , e , podemos reescrever a integral original dividindo-a nas frações parciais encontradas:
Passo 5
Agora, integramos cada termo separadamente. Sabemos que integral -16 cdot 1x , dx &= -16 ln|x| integral 310 cdot 1x-2 , dx &= 310 ln|x-2| integral -215 cdot 1x+3 , dx &= -215 ln|x+3| . Aplicando isso: