Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais usando frações parciais. Para isso, vamos precisar quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever como a soma de frações com denominadores mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação:
  • Substituindo na primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
Agora, resolvendo e :
Multiplicando a primeira equação por 2:
Somando com a segunda equação:
Substituindo na equação :
Então, os valores são:

Passo 4

Agora que temos , e , podemos reescrever a integral original dividindo-a nas frações parciais encontradas:

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente. Sabemos que . Aplicando isso:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:

Exercícios relacionados

Avalie a integral.
Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.