Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas: integral sen(8 x) cos (5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve funções trigonométricas. A questão pede para calcular a integral de sen(8x) cos(5x) , dx. Vamos usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar esse tipo de expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos o produto de seno e cosseno de diferentes ângulos, podemos usar a identidade trigonométrica do produto para somas. A fórmula que vamos usar é:
sen(A) cos(B) = 12 [sen(A + B) + sen(A - B)]
Isso ajuda a transformar o produto em uma soma, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso caso, onde A = 8x e B = 5x, temos:
sen(8x) cos(5x) = 12 [sen(8x + 5x) + sen(8x - 5x)] = 12 [sen(13x) + sen(3x)]

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sen(8x) cos(5x) , dx = 12 integral [sen(13x) + sen(3x)] , dx

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
12 ( integral sen(13x) , dx + integral sen(3x) , dx )

Passo 6

Integrando cada termo separadamente:
  • Para integral sen(13x) , dx, sabemos que a integral de sen(kx) é -1k cos(kx).
    Então, integral sen(13x) , dx = -113 cos(13x) + C1
  • Para integral sen(3x) , dx, aplicamos a mesma regra:
    integral sen(3x) , dx = -13 cos(3x) + C2

Passo 7

Juntando as integrais, temos:
12 ( -113 cos(13x) - 13 cos(3x) ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral é:
integral sen(8x) cos(5x) , dx = -126 cos(13x) - 16 cos(3x) + C

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