Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve funções trigonométricas. A questão pede para calcular a integral de . Vamos usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar esse tipo de expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos o produto de seno e cosseno de diferentes ângulos, podemos usar a identidade trigonométrica do produto para somas. A fórmula que vamos usar é:
Isso ajuda a transformar o produto em uma soma, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso caso, onde e , temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 6

Integrando cada termo separadamente:
  • Para , sabemos que a integral de é .
    Então,
  • Para , aplicamos a mesma regra:

Passo 7

Juntando as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral é:

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Avalie a integral.