Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral0^infty x e^-x d x

Passo 1

Vamos analisar a integral imprópria . Aqui estamos lidando com integrais impróprias porque o limite superior é infinito. Precisamos verificar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge, e se convergir, calcular seu resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da integral: . Essa função combina um termo que cresce à medida que aumenta, e que decresce rapidamente. A ideia é que o decaimento da função exponencial possa “controlar” o crescimento de , fazendo com que a integral converja.

Passo 3

Para resolver a integral, vamos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x

Passo 4

Aplicando a integração por partes:
integral0^infty x e^-x , dx = -x e^-x |0^infty + integral0^infty e^-x , dx
Agora, vamos calcular cada parte:
  • (porque tende a 0 quando )

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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