Avalie a integral.
integral sen(5 x) sen(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema envolve trigonometria, especificamente o uso de identidades trigonométricas para simplificar o produto de senos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de transformação de produtos de senos em somas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de dois senos em uma soma de cossenos:
sin(A) sin(B) = cos(A - B) - cos(A + B)2
Aqui, e .

Passo 3

Aplicando a identidade à nossa integral:
sin(5x) sin(2x) = cos(5x - 2x) - cos(5x + 2x)2 = cos(3x) - cos(7x)2
Então, a integral fica:
integral sin(5x) sin(2x) , dx = 12 integral [cos(3x) - cos(7x)] , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C
onde é uma constante.

Passo 5

Aplicando isso aos termos da nossa integral:
12 integral cos(3x) , dx = 12 cdot sin(3x)3 = sin(3x)6
e
12 integral cos(7x) , dx = 12 cdot sin(7x)7 = sin(7x)14

Passo 6

Juntando tudo, a integral fica:
sin(3x)6 - sin(7x)14 + C
onde é a constante de integração.

Resposta

integral sin(5x) sin(2x) , dx = sin(3x)6 - sin(7x)14 + C

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