Seja f:[0, infty) R uma função contínua, limitada e com derivada contínua e limitada em [0, infty). Considere L(f):[0, infty) R definida por
L(f)(s)=integral0^infty e^-s t f(t) d t
que é chamada de transformada de Laplace de f.
Mostre que a função L(f) está bem definida; isto é, mostre que a integral imprópria acima é convergente, para cada s >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função L(f)(s) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt que é contínua, limitada e cuja derivada também é contínua e limitada no intervalo . A gente quer analisar a transformada de Laplace dessa função, que é definida por:
O objetivo é mostrar que essa integral imprópria converge para todo , ou seja, que a função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria ser convergente. Isso quer dizer que, mesmo que o intervalo de integração seja infinito, o valor da integral chega a um número finito. Para isso, precisamos analisar o comportamento da função integranda conforme cresce.

Passo 3

Sabemos que |f(t)| <= M para todo t >= 0 é uma função limitada. Isso significa que existe um número tal que:
Isso é super útil porque nos dá um controle sobre o valor de em todo o intervalo.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o termo . Para , essa função decai exponencialmente conforme aumenta. Ou seja, fica cada vez menor, aproximando-se de zero à medida que vai para o infinito.

Passo 5

Combinando essas duas informações, temos que:
|e^-s t f(t)| <= e^-s t cdot M = M e^-s t
Isso nos permite usar o Critério da Comparação para investigar a convergência da integral.

Passo 6

O Critério da Comparação diz que se para todo no intervalo de integração e se a integral de converge, então a integral de também converge. No nosso caso, e .

Passo 7

Vamos verificar se a integral de integral0^infty M e^-s t , dt = M integral0^infty e^-s t , dt converge:
A integral de de 0 a infinito é uma integral bem conhecida que converge para quando .

Passo 8

Portanto:
M integral0^infty e^-s t , dt = M cdot 1s = Ms
Isso é um número finito, o que confirma que a integral de converge.

Passo 9

Como a integral de integral0^infty e^-s t f(t) , dt converge e , pelo Critério da Comparação, a integral original:
também converge para todo .

Passo 10

E quando L(f)(0) = integral0^infty f(t) , dt , a transformada de Laplace se torna:
Como é limitada e sua derivada também é limitada, podemos afirmar, usando técnicas semelhantes, que essa integral também converge.

Resposta

A transformada de Laplace está bem definida para todo , ou seja, a integral imprópria converge nesse intervalo.

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