Seja
uma função contínua, limitada e com derivada contínua e limitada em
. Considere
definida por
que é chamada de transformada de Laplace de
.
Mostre que a função
está bem definida; isto é, mostre que a integral imprópria acima é convergente, para cada
.
Mostre que a função
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que é contínua, limitada e cuja derivada também é contínua e limitada no intervalo
. A gente quer analisar a transformada de Laplace dessa função, que é definida por:
O objetivo é mostrar que essa integral imprópria converge para todo
, ou seja, que a função
está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria ser convergente. Isso quer dizer que, mesmo que o intervalo de integração seja infinito, o valor da integral chega a um número finito. Para isso, precisamos analisar o comportamento da função integranda
conforme
cresce.
Passo 3
Sabemos que
é uma função limitada. Isso significa que existe um número
tal que:
Isso é super útil porque nos dá um controle sobre o valor de
em todo o intervalo.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o termo
. Para
, essa função decai exponencialmente conforme
aumenta. Ou seja,
fica cada vez menor, aproximando-se de zero à medida que
vai para o infinito.
Passo 5
Combinando essas duas informações, temos que:
Isso nos permite usar o Critério da Comparação para investigar a convergência da integral.
Passo 6
O Critério da Comparação diz que se
para todo
no intervalo de integração e se a integral de
converge, então a integral de
também converge. No nosso caso,
e
.
Passo 7
Vamos verificar se a integral de
converge:
A integral de
de 0 a infinito é uma integral bem conhecida que converge para
quando
.
Passo 8
Portanto:
Isso é um número finito, o que confirma que a integral de
converge.
Passo 9
Como a integral de
converge e
, pelo Critério da Comparação, a integral original:
também converge para todo
.
Passo 10
E quando
, a transformada de Laplace se torna:
Como
é limitada e sua derivada também é limitada, podemos afirmar, usando técnicas semelhantes, que essa integral também converge.
Resposta
A transformada de Laplace
está bem definida para todo
, ou seja, a integral imprópria converge nesse intervalo.
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Encontre a transformada de Laplace das funções
30
e
.