(3,0) A Lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás é comprimida a uma temperatura constante, o produto da pressão pelo volume permanece constante: . Encontre a taxa de variação do volume em relação à pressão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Lei de Boyle, que faz parte da física dos gases. A gente precisa encontrar a taxa de variação do volume em relação à pressão quando a temperatura do gás está constante. Basicamente, vamos descobrir como o volume muda quando mudamos a pressão, mantendo a temperatura igual.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Boyle. Ela diz que:
Aqui, é a pressão, é o volume e é uma constante quando a temperatura é constante.

Passo 3

Queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação à pressão, ou seja, . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação da Lei de Boyle em relação à pressão .

Passo 4

Derivando a equação em relação a , temos:
Como é uma constante, sua derivada é zero:

Passo 5

Aplicando a regra do produto na derivada do lado esquerdo:

Passo 6

Agora, vamos isolar :
Então,

Resposta

A taxa de variação do volume em relação à pressão é:

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Determine a derivada das seguintes funções:
b)
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de em .
Avalie a integral.
Seja uma função contínua, limitada e com derivada contínua e limitada em . Considere definida por
que é chamada de transformada de Laplace de .
Mostre que a função está bem definida; isto é, mostre que a integral imprópria acima é convergente, para cada .