(3,0) A Lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás é comprimida a uma temperatura constante, o produto da pressão pelo volume permanece constante:
. Encontre a taxa de variação do volume em relação à pressão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Lei de Boyle, que faz parte da física dos gases. A gente precisa encontrar a taxa de variação do volume em relação à pressão quando a temperatura do gás está constante. Basicamente, vamos descobrir como o volume muda quando mudamos a pressão, mantendo a temperatura igual.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Boyle. Ela diz que:
Aqui,
é a pressão,
é o volume e
é uma constante quando a temperatura é constante.
Passo 3
Queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação à pressão, ou seja,
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação da Lei de Boyle em relação à pressão
.
Passo 4
Derivando a equação
em relação a
, temos:
Como
é uma constante, sua derivada é zero:
Passo 5
Aplicando a regra do produto na derivada do lado esquerdo:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Então,
Resposta
A taxa de variação do volume em relação à pressão é:
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Determine a derivada das seguintes funções:
b)
b)
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
Avalie a integral.
Seja
uma função contínua, limitada e com derivada contínua e limitada em
. Considere
definida por
que é chamada de transformada de Laplace de
.
Mostre que a função está bem definida; isto é, mostre que a integral imprópria acima é convergente, para cada
.
Mostre que a função