Encontre a transformada de Laplace das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
que é zero quando
e igual a quando
. Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, que é uma técnica muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar da definição da transformada e de algumas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo
para uma função no domínio da frequência
. A definição matemática é:
Isso significa que a gente vai integrar a função
multiplicada por
de 0 ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Como
para
e para
, a integral fica:
Passo 4
Essa integral é uma transformada padrão que a gente já conhece. A transformada de Laplace de é dada por:
No nosso caso, o valor de
é 1, já que temos .
Passo 5
Substituindo
na fórmula, ficamos com:
Resposta
A transformada de Laplace da função dada é:
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Seja
uma função contínua, limitada e com derivada contínua e limitada em
. Considere
definida por
que é chamada de transformada de Laplace de
.
Mostre que a função está bem definida; isto é, mostre que a integral imprópria acima é convergente, para cada
.
Mostre que a função
Avalie a integral.
30
e
.
31
e
.