Encontre a transformada de Laplace das funções

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função que é zero quando e igual a quando . Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, que é uma técnica muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar da definição da transformada e de algumas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo para uma função no domínio da frequência . A definição matemática é:
Isso significa que a gente vai integrar a função multiplicada por de 0 ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Como para e para , a integral fica:

Passo 4

Essa integral é uma transformada padrão que a gente já conhece. A transformada de Laplace de é dada por:
No nosso caso, o valor de é 1, já que temos .

Passo 5

Substituindo na fórmula, ficamos com:

Resposta

A transformada de Laplace da função dada é:

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Seja uma função contínua, limitada e com derivada contínua e limitada em . Considere definida por
que é chamada de transformada de Laplace de .
Mostre que a função está bem definida; isto é, mostre que a integral imprópria acima é convergente, para cada .
Avalie a integral.
30
e .
31
e .