Avalie a integral de superfície
para o campo vetorial dado
e a superfície orientada
. Em outras palavras, localize o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
,
é a parte do cone
que está entre os planos
com orientação descendente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície
para o campo vetorial
. A superfície
é a parte do cone dado por
que fica entre os planos
e
, e a orientação é descendente. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. O cone
pode ser parametrizado usando coordenadas cilíndricas, porque é mais fácil lidar com cones dessa maneira. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui,
varia de 1 a 3 (já que
está entre 1 e 3) e
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, vamos calcular os vetores tangentes às direções
e
:
O vetor normal
pode ser encontrado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Como a orientação é descendente, queremos que o vetor normal aponte para baixo, então tomamos
:
Passo 4
Agora, vamos expressar o campo vetorial
na parametrização que escolhemos:
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a diferencial de área
. A magnitude do vetor normal
é:
Então,
.
Passo 6
Agora, montamos a integral de superfície:
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é