Avalie a integral de superfície integral duplas F cdot d S para o campo vetorial dado F e a superfície orientada S. Em outras palavras, localize o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
F(x, y, z)=-x i-y j+z^3 k,
S é a parte do cone z=raizx^2+y^2 que está entre os planos
z=1 e z=3 com orientação descendente

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície para o campo vetorial . A superfície é a parte do cone dado por que fica entre os planos e , e a orientação é descendente. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície x = r cos theta, y = r sin theta, z = r . O cone pode ser parametrizado usando coordenadas cilíndricas, porque é mais fácil lidar com cones dessa maneira. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, varia de 1 a 3 (já que está entre 1 e 3) e varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, vamos calcular os vetores tangentes às direções rr = partial rpartial r = cos theta i + sin theta j + k e rtheta = partial rpartial theta = -r sin theta i + r cos theta j :
n = rr times rtheta = (-r cos theta i - r sin theta j + r k)
n = r cos theta i + r sin theta j - r k
O vetor normal pode ser encontrado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Como a orientação é descendente, queremos que o vetor normal aponte para baixo, então tomamos :

Passo 4

Agora, vamos expressar o campo vetorial F(r, theta) = -r cos theta i - r sin theta j + r^3 k na parametrização que escolhemos:
F cdot n = (-r cos theta)(r cos theta) + (-r sin theta)(r sin theta) + (r^3)(-r)
O próximo passo é calcular o produto escalar = -r^2 cos^2 theta - r^2 sin^2 theta - r^4 :
= -r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - r^4
= -r^2 (1) - r^4 = -r^2 - r^4

Passo 5

Agora, precisamos calcular a diferencial de área |n| = raiz(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 + (-r)^2 = raizr^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta + r^2 = raiz2r^2 = r raiz2 . A magnitude do vetor normal é:
Então, .

Passo 6

Agora, montamos a integral de superfície:
integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral1^3 (-r^2 - r^4) cdot r raiz2 dr dtheta
= -raiz2 integral0^2pi integral1^3 (r^3 + r^5) dr dtheta
Vamos primeiro integrar em relação a integral1^3 (r^3 + r^5) dr = [r^44 + r^66]1^3 = (814 + 7296) - (14 + 16) :
= (814 + 7296) - (14 + 16)
= (814 + 7296) - (312 + 212)
= (814 + 2432) - 512
= 814 + 4864 - 512 = 5674 - 512 = 170112 - 512 = 169612 = 4243

Passo 7

Agora, integramos em relação a -raiz2 integral0^2pi 4243 dtheta = -raiz2 cdot 4243 cdot 2pi = -raiz2 cdot 8483 pi = -848 raiz23 pi :

Resposta

O fluxo do campo vetorial -848 raiz23 pi através da superfície é

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