Determine o valor da constante
para a qual a equação
é exata. Resolva a equação com esse valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e precisamos encontrar o valor da constante
que faz essa equação ser exata. Depois disso, vamos resolver a equação com esse valor de
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que
. Isso acontece quando as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Para a equação ser exata, precisamos que:
Simplificando essa igualdade:
Então, o valor de
que torna a equação exata é 3.
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos resolver a equação. Com
, nossa equação fica:
Vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Simplificando:
Como
não deve depender de
, percebemos que há um erro. Voltemos e revisemos:
Na verdade, a derivada correta de em relação a
é:
Na verdade, a derivada correta de
Igualando a
:
Portanto,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A constante
que torna a equação exata é
. A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.