Determine o valor da constante alpha para a qual a equação (x y^2 + alfa x^2 y) dx + (x + y) x^2 dy = 0 é exata. Resolva a equação com esse valor de alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e precisamos encontrar o valor da constante alpha que faz essa equação ser exata. Depois disso, vamos resolver a equação com esse valor de alpha. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma é exata se existir uma função F(x, y) tal que . Isso acontece quando as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x são iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos identificar M e N na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Para a equação ser exata, precisamos que:
Simplificando essa igualdade:
Então, o valor de alpha que torna a equação exata é 3.

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos resolver a equação. Com , nossa equação fica:
Vamos encontrar a função potencial F(x, y) tal que:
Integrando M em relação a x:
Agora, vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar a N:
Simplificando:
Como não deve depender de x, percebemos que há um erro. Voltemos e revisemos:
Na verdade, a derivada correta de F(x, y) em relação a y é:
Igualando a N:
ãã
Portanto, g(y) é uma constante, que podemos chamar de C.

Resposta

A constante alpha que torna a equação exata é . A solução geral da equação é:
Onde C é uma constante arbitrária.

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