Dada a função
, calcule
utilizando a definição.
Passo 1
Vamos lá! A questão nos dá a função
e pede para calcular a derivada dessa função no ponto
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função
no ponto
. A derivada
é dada por:
Essa fórmula representa o limite da taxa de variação média da função
quando
(um pequeno incremento em
) tende a zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição para a nossa função
no ponto
.
Primeiro, calculamos
:
E sabemos que
.
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da derivada:
Passo 5
Simplificamos a expressão:
Como
não é zero (já que estamos considerando o limite quando
tende a zero), podemos simplificar dessa forma.
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.