Seja R a região limitada pelas curvas y = 3 x^2 e y = 80. Encontre b > 0 de modo que a área da região limitada por y = 3 x^2 e y = b seja 64 vezes menor que a área da região R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região limitada pelas curvas e . A tarefa é encontrar um valor positivo tal que a área entre e seja 64 vezes menor que a área da região .
Conteúdo da matéria: Cálculo integral, especialmente integração de funções para encontrar áreas entre curvas.
O que vamos precisar: Entender como calcular áreas entre curvas usando integrais definidas e resolver uma equação para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da região limitada por e .
Para isso, precisamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Igualando :

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da região . A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença das funções, do ponto de interseção esquerdo ao direito.
Á

Passo 4

Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Á
Simplificando:
Á

Passo 5

Agora, queremos que a área entre e seja 64 vezes menor que a área de . Ou seja:
Á

Passo 6

Vamos calcular a área entre e . Primeiro, encontramos os pontos de interseção:
A área será:
Á

Passo 7

Calculando a integral:
Aplicando os limites:
Á
Simplificando:
Á

Passo 8

Igualamos a área desejada à área calculada:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 9

Agora, vamos isolar . Elevamos ambos os lados à potência :
Simplificando:

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é:

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