Seja
a região limitada pelas curvas
e
. Encontre
de modo que a área da região limitada por
e
seja 64 vezes menor que a área da região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região
limitada pelas curvas
e
. A tarefa é encontrar um valor positivo
tal que a área entre
e
seja 64 vezes menor que a área da região
.
Conteúdo da matéria: Cálculo integral, especialmente integração de funções para encontrar áreas entre curvas.
O que vamos precisar: Entender como calcular áreas entre curvas usando integrais definidas e resolver uma equação para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da região
limitada por
e
.
Para isso, precisamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Igualando
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da região
. A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença das funções, do ponto de interseção esquerdo ao direito.
Passo 4
Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Passo 5
Agora, queremos que a área entre
e
seja 64 vezes menor que a área de
. Ou seja:
Passo 6
Vamos calcular a área entre
e
. Primeiro, encontramos os pontos de interseção:
A área será:
Passo 7
Calculando a integral:
Aplicando os limites:
Simplificando:
Passo 8
Igualamos a área desejada à área calculada:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 9
Agora, vamos isolar
. Elevamos ambos os lados à potência
:
Simplificando:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é: