Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de a . Para isso, vamos usar o conteúdo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente utilizando técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Podemos reescrever como . Sabemos que pode ser expressa usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Como vai de a , vai de a .

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:
Então, a integral fica:

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante . Voltando para a variável original :

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de a :
Sabendo que e :
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum:
Então:

Resposta

A integral vale .

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Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
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Avalie a integral.