Calcule a integral.
integral0^pi / 4 cos ^3 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de a . Para isso, vamos usar o conteúdo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente utilizando técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão cos^2 theta = 1 - sin^2 theta para facilitar a integração. Podemos reescrever cos^3 theta = (1 - sin^2 theta) cdot cos theta como . Sabemos que pode ser expressa usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = sin theta Rightarrow du = cos theta , dtheta
Substituindo na integral:
integral0^pi4 cos^3 theta , dtheta = integralu(0)^u(pi4) (1 - u^2) , du
Como vai de a , vai de a .

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (1 - u^2) , du = integral 1 , du - integral u^2 , du
Integrando cada termo:
integral 1 , du = u
integral u^2 , du = u^33
Então, a integral fica:
u - u^33 + C

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante u - u^33 = sin theta - sin^3 theta3 . Voltando para a variável original :

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de [ sin theta - sin^3 theta3 ]0^pi4 = ( sin pi4 - sin^3 pi43 ) - ( sin 0 - sin^3 03 ) a raiz22 - (raiz22)^33 - (0 - 0) = raiz22 - 2raiz283 = raiz22 - raiz212 :
raiz22 = 6raiz212
Sabendo que raiz212 = raiz212 e 6raiz212 - raiz212 = 5raiz212 :
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum:
Então:

Resposta

A integral vale .

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