Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar o conteúdo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente utilizando técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
para facilitar a integração. Podemos reescrever
como
. Sabemos que
pode ser expressa usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na expressão original:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Como
vai de
a
,
vai de
a
.
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante
. Voltando para a variável original
:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
a
:
Sabendo que
e
:
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum:
Então:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Avalie a integral.