Avalie a integral.
integral tg x sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral tan x cdot sec^2 x , dx
Aqui, estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição. Basicamente, vamos escolher uma parte da integral para ser substituída por uma variável nova, simplificando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída. Observamos que temos ddx (tan x) = sec^2 x e u = tan x . Sabemos que a derivada de dudx = sec^2 x Rightarrow du = sec^2 x , dx é :
Isso é uma pista para usarmos substituição. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos integral tan x cdot sec^2 x , dx = integral u , du e na integral original:
Isso simplifica bastante a integral, pois agora temos uma expressão mais fácil de integrar.

Passo 4

Vamos integrar integral u , du = u^22 + C :
Aqui, é a constante de integração, que sempre adicionamos quando resolvemos integrais indefinidas.

Passo 5

Por fim, substituímos u^22 + C = (tan x)^22 + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral avaliada é:
tan^2 x2 + C

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