Determine a área A da região do primeiro quadrante limitado pela curva
, o eixo
e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área
da região no primeiro quadrante que está limitada pela curva
, pelo eixo
e pelo eixo
. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Essa é uma função exponencial decrescente porque a base
está elevada a um expoente negativo. Isso significa que conforme
aumenta,
diminui.
Passo 3
No primeiro quadrante, tanto
quanto
são positivos. A área que queremos encontrar está entre essa curva, o eixo
(onde
) e o eixo
(onde
).
Passo 4
Para encontrar a área limitada, vamos integrar a função
em relação a
desde
até o ponto onde a curva intercepta o eixo
. Porém, nesse caso, a curva nunca realmente toca o eixo
porque
nunca será zero. Então, precisamos considerar que a área se estende até o infinito.
Passo 5
A integral que representa a área
é:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos reescrever
usando a base
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Passo 8
Sabemos que a integral de
de 0 a infinito é
. Aqui,
.
Passo 9
Então, calculando a integral:
Resposta
A área
da região limitada é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Encontre a transformada de Laplace das funções
Avalie a integral.