Determine a área A da região do primeiro quadrante limitado pela curva y = 2^(-x), o eixo x e o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da região no primeiro quadrante que está limitada pela curva , pelo eixo e pelo eixo . Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Essa é uma função exponencial decrescente porque a base está elevada a um expoente negativo. Isso significa que conforme aumenta, diminui.

Passo 3

No primeiro quadrante, tanto quanto são positivos. A área que queremos encontrar está entre essa curva, o eixo (onde ) e o eixo (onde ).

Passo 4

Para encontrar a área limitada, vamos integrar a função em relação a desde até o ponto onde a curva intercepta o eixo . Porém, nesse caso, a curva nunca realmente toca o eixo porque nunca será zero. Então, precisamos considerar que a área se estende até o infinito.

Passo 5

A integral que representa a área é:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos reescrever usando a base :

Passo 7

Agora, a integral fica:

Passo 8

Sabemos que a integral de de 0 a infinito é . Aqui, .

Passo 9

Então, calculando a integral:

Resposta

A área da região limitada é unidades de área.

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