Encontre a transformada de Laplace das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função
, que é igual a quando
e zero quando
. Para fazer isso, a gente vai precisar lembrar a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções trigonométricas como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática usada para transformar uma função do tempo
para o domínio da frequência, representada por
. A definição da transformada de Laplace é:
Aqui,
é uma variável complexa que geralmente representa a frequência.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Sabemos que
para
e para
. Como a integral da transformada de Laplace vai de 0 até o infinito, a parte onde
não afeta o cálculo. Então, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma fórmula conhecida da transformada de Laplace para a função seno. A transformada de é dada por:
No nosso caso,
, já que temos . Então, substituindo na fórmula, temos:
Resposta
A transformada de Laplace da função para
é:
Exercícios relacionados
Determine a área A da região do primeiro quadrante limitado pela curva
, o eixo
e o eixo
.
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Avalie a integral.
Calcule.