Encontre a transformada de Laplace das funções

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função , que é igual a quando e zero quando . Para fazer isso, a gente vai precisar lembrar a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática usada para transformar uma função do tempo para o domínio da frequência, representada por . A definição da transformada de Laplace é:
Aqui, é uma variável complexa que geralmente representa a frequência.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Sabemos que para e para . Como a integral da transformada de Laplace vai de 0 até o infinito, a parte onde não afeta o cálculo. Então, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma fórmula conhecida da transformada de Laplace para a função seno. A transformada de é dada por:
No nosso caso, , já que temos . Então, substituindo na fórmula, temos:

Resposta

A transformada de Laplace da função para é:

Exercícios relacionados

Determine a área A da região do primeiro quadrante limitado pela curva , o eixo e o eixo .
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Avalie a integral.
Calcule.