Calcule.
integral raiz2-4 t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso faz parte do cálculo integral, onde vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que 2 - 4t^2 = 2(1 - 2t^2) pode ser fatorado:
integral raiz2(1 - 2t^2) , dt = raiz2 integral raiz1 - 2t^2 , dt
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, para resolver , vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos considerar que , porque isso vai simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 4

Calculando t = 1raiz2 sin theta implies dt = 1raiz2 cos theta , dtheta em termos de raiz2 integral raiz1 - 2(1raiz2 sin theta)^2 cdot 1raiz2 cos theta , dtheta :
Substituindo na integral:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
1 - 2(1raiz2 sin theta)^2 = 1 - 2 cdot 12 sin^2 theta = 1 - sin^2 theta = cos^2 theta
Então, a integral fica:
raiz2 integral cos theta cdot 1raiz2 cos theta , dtheta = integral cos^2 theta , dtheta

Passo 6

Para integrar cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 , usamos a fórmula de identidade dupla:
integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos 2theta , dtheta
Então, a integral se torna:
= theta2 + 14 sin 2theta + C

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original sin theta = raiz2 t implies theta = arcsin(raiz2 t) . Lembrando que fizemos sin 2theta = 2 cdot raiz2 t cdot raiz1 - 2t^2 , então:
arcsin(raiz2 t)2 + 14 cdot 2 raiz2 t raiz1 - 2t^2 + C = arcsin(raiz2 t)2 + raiz22 t raiz1 - 2t^2 + C
E usando a identidade :
Substituindo de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral 12 arcsin(raiz2, t) + raiz22 t raiz1 - 2 t^2 + C é igual a:

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