Avalie a integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral que vamos chamar de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual parte será
e qual será
. A regra geral é escolher
como a função que fica mais simples quando derivada, e
como o resto.
Aqui, vamos deixar:
-
(porque a derivada de é mais simples) -
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
- Derivada de
: - Integral de
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Simplificando a segunda integral:
E integrando:
Passo 6
Voltando à expressão original:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral avaliada é:
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Se
for contínua em
, mostre que
Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
As seguintes equações diferenciais são lineares comcoeficientes constantes, ou seja, podem ser resolvidas diretamente. Encontre duas soluções em séries de potências com centro em
e compare com as soluções obtidas diretamente.
c)
c)
Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
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