Avalie a integral:
integral x^2024 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte será e qual será . A regra geral é escolher como a função que fica mais simples quando derivada, e como o resto.
Aqui, vamos deixar:
  • (porque a derivada de é mais simples)

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^2024 ln x , dx = ln x cdot x^20252025 - integral x^20252025 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a segunda integral:
integral x^20252025 cdot 1x , dx = 12025 integral x^2024 , dx
E integrando:
12025 cdot x^20252025 = x^20252025^2

Passo 6

Voltando à expressão original:
integral x^2024 ln x , dx = x^2025 ln x2025 - x^20252025^2 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral avaliada é:
integral x^2024 ln x , dx = x^2025 ln x2025 - x^20252025^2 + C

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