Se f for contínua em R, mostre que
integrala^b f(-x) d x=integral-b^-a f(x) d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função integrala^b f(-x) , dx = integral-b^-a f(x) , dx que é contínua em todos os números reais (ou seja, em ). A questão quer que mostremos que:
Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de mudança de variável (ou substituição) para integração. Vamos precisar lembrar como a substituição de variáveis funciona para resolver essa igualdade.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma mudança de variável na integral da esquerda. Vamos definir uma nova variável tal que . Quando fazemos essa substituição, precisamos também mudar os limites de integração e expressar em termos de .

Passo 3

Calculando u = -x implies dudx = -1 implies du = -dx implies dx = -du :

Passo 4

Agora, mudamos os limites de integração. Quando integralx = a^x = b f(-x) , dx = integralu = -a^u = -b f(u) , (-du) , então . Quando , então . Assim, a integral original se torna:

Passo 5

Note que temos um sinal negativo devido ao integralu = -a^u = -b f(u) , (-du) = integralu = -b^u = -a f(u) , du . Podemos reverter os limites de integração para eliminar esse sinal negativo:

Passo 6

Agora, substituindo integral-b^-a f(x) , dx por novamente (já que é uma variável de integração), temos:

Resposta

Portanto, mostramos que
integrala^b f(-x) , dx = integral-b^-a f(x) , dx

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