Se for contínua em , mostre que

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é contínua em todos os números reais (ou seja, em ). A questão quer que mostremos que:
Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de mudança de variável (ou substituição) para integração. Vamos precisar lembrar como a substituição de variáveis funciona para resolver essa igualdade.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma mudança de variável na integral da esquerda. Vamos definir uma nova variável tal que . Quando fazemos essa substituição, precisamos também mudar os limites de integração e expressar em termos de .

Passo 3

Calculando :

Passo 4

Agora, mudamos os limites de integração. Quando , então . Quando , então . Assim, a integral original se torna:

Passo 5

Note que temos um sinal negativo devido ao . Podemos reverter os limites de integração para eliminar esse sinal negativo:

Passo 6

Agora, substituindo por novamente (já que é uma variável de integração), temos:

Resposta

Portanto, mostramos que

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Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
hélice circular sent,
Avalie a integral:
As seguintes equações diferenciais são lineares comcoeficientes constantes, ou seja, podem ser resolvidas diretamente. Encontre duas soluções em séries de potências com centro em e compare com as soluções obtidas diretamente.
c)