Se
for contínua em
, mostre que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é contínua em todos os números reais (ou seja, em
). A questão quer que mostremos que:
Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de mudança de variável (ou substituição) para integração. Vamos precisar lembrar como a substituição de variáveis funciona para resolver essa igualdade.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma mudança de variável na integral da esquerda. Vamos definir uma nova variável
tal que
. Quando fazemos essa substituição, precisamos também mudar os limites de integração e expressar
em termos de
.
Passo 3
Calculando
:
Passo 4
Agora, mudamos os limites de integração. Quando
, então
. Quando
, então
. Assim, a integral original se torna:
Passo 5
Note que temos um sinal negativo devido ao
. Podemos reverter os limites de integração para eliminar esse sinal negativo:
Passo 6
Agora, substituindo
por
novamente (já que é uma variável de integração), temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
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Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
hélice circular sent,
hélice circular
Avalie a integral:
As seguintes equações diferenciais são lineares comcoeficientes constantes, ou seja, podem ser resolvidas diretamente. Encontre duas soluções em séries de potências com centro em
e compare com as soluções obtidas diretamente.
c)
c)