Se
for contínua em
, mostre que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é contínua em todos os números reais (ou seja, em
). A questão quer que mostremos que:
Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de mudança de variável (ou substituição) para integração. Vamos precisar lembrar como a substituição de variáveis funciona para resolver essa igualdade.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma mudança de variável na integral da esquerda. Vamos definir uma nova variável
tal que
. Quando fazemos essa substituição, precisamos também mudar os limites de integração e expressar
em termos de
.
Passo 3
Calculando
:
Passo 4
Agora, mudamos os limites de integração. Quando
, então
. Quando
, então
. Assim, a integral original se torna:
Passo 5
Note que temos um sinal negativo devido ao
. Podemos reverter os limites de integração para eliminar esse sinal negativo:
Passo 6
Agora, substituindo
por
novamente (já que é uma variável de integração), temos:
Resposta
Portanto, mostramos que