Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial em torno de . O que a gente precisa fazer é encontrar duas soluções em série, e , e determinar os primeiros quatro termos de cada uma. Depois, vamos calcular o wronskiano dessas soluções no ponto . Se der, também tentamos achar uma fórmula para o termo geral de cada solução. Para isso, vamos usar a técnica de séries de potências, que é uma maneira de resolver equações diferenciais assumindo que a solução pode ser escrita como uma série infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar. Nosso objetivo é determinar esses coeficientes.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Vamos reescrever essas séries para que todas estejam em termos de , ajustando os índices das somas.
Primeira derivada reescrita:
Segunda derivada reescrita:

Passo 4

Substituindo e na equação diferencial original:
Vamos simplificar o termo :
Agora, reescrevemos a equação diferencial:
Para combinar as somas, ajustamos o índice da segunda soma para começar em :
No entanto, para que as potências de coincidam, precisamos que ambas as somas tenham o mesmo exponente. Observando isso, podemos equacionar os coeficientes de cada potência de igual a zero.

Passo 5

Comparando os coeficientes de em ambos os termos, temos a relação de recorrência:
Simplificando, obtemos:
Essa é a relação que nos permite encontrar os coeficientes em termos dos anteriores.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os primeiros quatro termos de cada solução. Para isso, precisamos definir os valores iniciais. Como a equação é de segunda ordem, teremos duas soluções independentes, que geralmente diferem nos termos iniciais.
Primeira solução ( ):
Vamos supor que e .
Calculando os coeficientes:
  • Para : ã
  • Para :
  • Para :
Então, os primeiros quatro termos de são:
Segunda solução ( ):
Vamos supor que e .
Calculando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, os primeiros quatro termos de são:

Passo 7

Agora, vamos calcular o wronskiano no ponto . O wronskiano é definido por:
Primeiro, calculamos as derivadas de e :
Agora, avaliamos , , e em :
Substituindo na fórmula do wronskiano:

Resposta

As duas soluções em série da equação em torno de são:
O wronskiano no ponto é igual a 1.

Exercícios relacionados

As seguintes equações diferenciais são lineares comcoeficientes constantes, ou seja, podem ser resolvidas diretamente. Encontre duas soluções em séries de potências com centro em e compare com as soluções obtidas diretamente.
c)
Avalie a integral:
Calcule .
Dê a relação que existe entre e , se e .