Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
em torno de
. O que a gente precisa fazer é encontrar duas soluções em série,
e
, e determinar os primeiros quatro termos de cada uma. Depois, vamos calcular o wronskiano dessas soluções no ponto
. Se der, também tentamos achar uma fórmula para o termo geral de cada solução. Para isso, vamos usar a técnica de séries de potências, que é uma maneira de resolver equações diferenciais assumindo que a solução pode ser escrita como uma série infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar. Nosso objetivo é determinar esses coeficientes.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Vamos reescrever essas séries para que todas estejam em termos de
, ajustando os índices das somas.
Primeira derivada reescrita:
Segunda derivada reescrita:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar o termo
:
Agora, reescrevemos a equação diferencial:
Para combinar as somas, ajustamos o índice da segunda soma para começar em
:
No entanto, para que as potências de
coincidam, precisamos que ambas as somas tenham o mesmo exponente. Observando isso, podemos equacionar os coeficientes de cada potência de
igual a zero.
Passo 5
Comparando os coeficientes de
em ambos os termos, temos a relação de recorrência:
Simplificando, obtemos:
Essa é a relação que nos permite encontrar os coeficientes
em termos dos anteriores.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os primeiros quatro termos de cada solução. Para isso, precisamos definir os valores iniciais. Como a equação é de segunda ordem, teremos duas soluções independentes, que geralmente diferem nos termos iniciais.
Primeira solução (
):
Vamos supor que e
.
Vamos supor que
Calculando os coeficientes:
-
-
- Para
: - Para
: - Para
:
Então, os primeiros quatro termos de
são:
Segunda solução (
):
Vamos supor que e
.
Vamos supor que
Calculando os coeficientes:
-
-
- Para
: - Para
: - Para
:
Então, os primeiros quatro termos de
são:
Passo 7
Agora, vamos calcular o wronskiano
no ponto
. O wronskiano é definido por:
Primeiro, calculamos as derivadas de
e
:
Agora, avaliamos
,
,
e
em
:
Substituindo na fórmula do wronskiano:
Resposta
As duas soluções em série da equação
em torno de
são:
O wronskiano
no ponto
é igual a 1.
Exercícios relacionados
As seguintes equações diferenciais são lineares comcoeficientes constantes, ou seja, podem ser resolvidas diretamente. Encontre duas soluções em séries de potências com centro em
e compare com as soluções obtidas diretamente.
c)
c)
Avalie a integral:
Calcule
.
Dê a relação que existe entre
e
, se
e
.