Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?

Passo 1

Então, vamos resumir o que a gente tem aqui: uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa. A base dessa escada está sendo empurrada para longe da parede a uma velocidade de 2 pés por segundo. O que a gente precisa descobrir é a que velocidade o topo da escada está descendo naquele momento em que a base está a 7 pés da parede.
Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o que chamamos de “taxas relacionadas”. Também vamos precisar do Teorema de Pitágoras para relacionar a distância da base à parede com a altura do topo da escada.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar melhor o problema. Imagine um triângulo retângulo onde:
  • A escada é a hipotenusa, com comprimento fixo de 25 pés.
  • A base da escada, , é a distância da parede.
  • A altura da escada na parede, , é a altura que o topo está alcançando na parede.
O Teorema de Pitágoras nos dá a relação:

Passo 3

Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo . Assim, teremos:
Isso porque a derivada de em relação ao tempo é , e o mesmo vale para .

Passo 4

Queremos encontrar , que é a velocidade com que o topo da escada está descendo. Vamos reorganizar a equação:
Simplificando, temos:

Passo 5

Para encontrar no instante em que pés e pés por segundo, precisamos primeiro encontrar quando pés.
Usando o Teorema de Pitágoras:
é

Passo 6

Agora que temos pés e pés, substituímos na equação de :
é

Resposta

Então, o topo da escada está descendo a uma velocidade de pés por segundo naquele instante.

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Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
hélice circular sent,
Considere o sólido que está acima do semi-cone e dentro da esfera . Calcule o volume de .
Se for contínua em , mostre que
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