Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
Passo 1
Então, vamos resumir o que a gente tem aqui: uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa. A base dessa escada está sendo empurrada para longe da parede a uma velocidade de 2 pés por segundo. O que a gente precisa descobrir é a que velocidade o topo da escada está descendo naquele momento em que a base está a 7 pés da parede.
Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o que chamamos de “taxas relacionadas”. Também vamos precisar do Teorema de Pitágoras para relacionar a distância da base à parede com a altura do topo da escada.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar melhor o problema. Imagine um triângulo retângulo onde:
- A escada é a hipotenusa, com comprimento fixo de 25 pés.
- A base da escada,
, é a distância da parede. - A altura da escada na parede,
, é a altura que o topo está alcançando na parede.
O Teorema de Pitágoras nos dá a relação:
Passo 3
Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo
. Assim, teremos:
Isso porque a derivada de
em relação ao tempo é
, e o mesmo vale para
.
Passo 4
Queremos encontrar
, que é a velocidade com que o topo da escada está descendo. Vamos reorganizar a equação:
Simplificando, temos:
Passo 5
Para encontrar
no instante em que
pés e
pés por segundo, precisamos primeiro encontrar
quando
pés.
Usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 6
Agora que temos
pés e
pés, substituímos na equação de
:
Resposta
Então, o topo da escada está descendo a uma velocidade de
pés por segundo naquele instante.
Exercícios relacionados
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
hélice circular sent,
hélice circular
Considere o sólido
que está acima do semi-cone
e dentro da esfera
. Calcule o volume de
.
Se
for contínua em
, mostre que
Avalie a integral: