As seguintes equações diferenciais são lineares comcoeficientes constantes, ou seja, podem ser resolvidas diretamente. Encontre duas soluções em séries de potências com centro em e compare com as soluções obtidas diretamente.
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . O que a gente precisa aqui é encontrar duas soluções para essa equação usando séries de potências centradas em , e depois comparar com as soluções que a gente encontra resolvendo a equação de forma direta. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação de forma direta para termos uma referência. A equação é:
Para resolver isso, a gente assume que a solução tem a forma , onde é um número que vamos determinar. Derivando:
Substituindo na equação:
Fatorando :
Como nunca é zero, temos que:
Então, as raízes são e . Assim, as soluções são:
Então, a solução geral da equação é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as soluções usando séries de potências. Vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série:
Primeiro, precisamos calcular as derivadas de :
Vamos substituir , e na equação diferencial:
Para facilitar, vamos mudar o índice das somas para que ambas comecem em :
Na primeira soma, façamos :
Na segunda soma, façamos :
Então, a equação fica:
Podemos combinar as somas:
Para que isso seja igual a zero para todo , os coeficientes de cada devem ser zero:
Como não é zero para , temos:
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes da série.
Vamos começar determinando os primeiros termos. Precisamos definir e (eles serão nossas constantes de integração, equivalentes a e ).
Para :
Para :
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem maior dependem de , enquanto o coeficiente permanece como constante.
Então, temos duas séries possíveis:
  1. Série com não nulo e :
Esta série corresponde à solução .
  1. Série com e não nulo:
Reconhecemos essa série como a expansão em série de , ou seja:

Resposta

As duas soluções em séries de potências centradas em são e , que coincidem com as soluções encontradas resolvendo a equação diretamente.

Exercícios relacionados

Avalie a integral:
Se for contínua em , mostre que
Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
©
Calcule .