As seguintes equações diferenciais são lineares comcoeficientes constantes, ou seja, podem ser resolvidas diretamente. Encontre duas soluções em séries de potências com centro em
e compare com as soluções obtidas diretamente.
c)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. O que a gente precisa aqui é encontrar duas soluções para essa equação usando séries de potências centradas em
, e depois comparar com as soluções que a gente encontra resolvendo a equação de forma direta. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação de forma direta para termos uma referência. A equação é:
Para resolver isso, a gente assume que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos determinar. Derivando:
Substituindo na equação:
Fatorando
:
Como
nunca é zero, temos que:
Então, as raízes são
e
. Assim, as soluções são:
Então, a solução geral da equação é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as soluções usando séries de potências. Vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série:
Primeiro, precisamos calcular as derivadas de
:
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Para facilitar, vamos mudar o índice das somas para que ambas comecem em
:
Na primeira soma, façamos
:
Na segunda soma, façamos
:
Então, a equação fica:
Podemos combinar as somas:
Para que isso seja igual a zero para todo
, os coeficientes de cada
devem ser zero:
Como
não é zero para
, temos:
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes da série.
Vamos começar determinando os primeiros termos. Precisamos definir
e
(eles serão nossas constantes de integração, equivalentes a
e
).
Para
:
Para
:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem maior dependem de
, enquanto o coeficiente
permanece como constante.
Então, temos duas séries possíveis:
- Série com
não nulo e :
Esta série corresponde à solução
.
- Série com
e não nulo:
Reconhecemos essa série como a expansão em série de
, ou seja:
Resposta
As duas soluções em séries de potências centradas em
são
e
, que coincidem com as soluções encontradas resolvendo a equação diretamente.
Exercícios relacionados
Avalie a integral:
Se
for contínua em
, mostre que
Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
©
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Calcule
.