Avalie a integral. integral x^2(x+1)^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^2(x+1)^2 , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma razão de polinômios. Para resolver, precisamos usar técnicas de simplificação de frações algébricas e de integração, como a divisão polinomial e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^2(x+1)^2. Note que (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1. Podemos reescrever x^2 da seguinte forma:
x^2 = (x+1)^2 - 2x - 1
Substituindo na integral:
integral x^2(x+1)^2 , dx = integral (x+1)^2 - 2x - 1(x+1)^2 , dx

Passo 3

Agora, dividimos a fração:
(x+1)^2 - 2x - 1(x+1)^2 = 1 - 2x + 1(x+1)^2
Então, a integral fica:
integral (1 - 2x + 1(x+1)^2) , dx = integral 1 , dx - integral 2x + 1(x+1)^2 , dx

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
integral 1 , dx = x

Passo 5

Para a segunda integral, integral 2x + 1(x+1)^2 , dx, vamos usar a substituição. Seja u = x + 1, então du = dx e x = u - 1. Substituindo:
2x + 1 = 2(u - 1) + 1 = 2u - 2 + 1 = 2u - 1
Então, a integral se torna:
integral 2u - 1u^2 , du = integral (2uu^2 - 1u^2) , du = integral 2u , du - integral u^-2 , du

Passo 6

Agora, resolvemos cada parte:
integral 2u , du = 2 ln|u|
integral u^-2 , du = -u^-1 = -1u
Portanto:
integral 2u - 1u^2 , du = 2 ln|u| - 1u + C

Passo 7

Voltando à variável original, onde u = x + 1:
2 ln|u| - 1u + C = 2 ln|x + 1| - 1x + 1 + C

Passo 8

Agora, juntando todas as partes da integral original:
integral x^2(x+1)^2 , dx = x - (2 ln|x + 1| - 1x + 1) + C = x - 2 ln|x + 1| + 1x + 1 + C

Resposta

A integral avaliada é:
integral x^2(x+1)^2 , dx = x - 2 ln|x + 1| + 1x + 1 + C

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