Avalie integral0^1 integral-1^1|x+y| d x d y
Diva Calculo B p7.6.2l

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de no intervalo onde vai de a e vai de a . Isso envolve entender integrais duplas e como lidar com funções absolutas. Vamos precisar dividir a área de integração em partes onde a função dentro do valor absoluto muda de sinal, para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar onde , porque é nesse ponto que o valor absoluto muda de comportamento. Resolvendo , temos . Esse é o limite onde a expressão dentro do valor absoluto passa de negativa para positiva.

Passo 3

Agora, vamos dividir a região de integração em duas partes:
  1. Onde (isto é, )
  2. Onde (isto é, )
Isso nos ajuda a remover o valor absoluto, já que conhecemos o sinal de em cada região.

Passo 4

Vamos integrar separadamente em cada região:
Região 1: integral0^1 integral-y^1 (x + y) , dx , dy
integral0^1 integral-1^-y -(x + y) , dx , dy
Região 2:
Note que na Região 2, tiramos o negativo porque é negativo nessa área.

Passo 5

Vamos calcular a integral da Região 1 primeiro:
integral0^1 [ integral-y^1 (x + y) , dx ] dy
Integramos integral-y^1 (x + y) , dx = [ 12x^2 + yx ]-y^1 em relação a = ( 12(1)^2 + y(1) ) - ( 12(-y)^2 + y(-y) ) :
= ( 12 + y ) - ( 12y^2 - y^2 )
= 12 + y - 12y^2 + y^2
= 12 + y + 12y^2
integral0^1 ( 12 + y + 12y^2 ) dy = [ 12y + 12y^2 + 16y^3 ]0^1
= ( 12(1) + 12(1)^2 + 16(1)^3 ) - 0
Agora, integramos em relação a = 12 + 12 + 16 = 66 + 16 = 76 :

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral da Região 2:
integral0^1 [ integral-1^-y -(x + y) , dx ] dy
Primeiro, simplificamos o integrando:
-(x + y) = -x - y
Integramos integral-1^-y (-x - y) , dx = [ -12x^2 - yx ]-1^-y em relação a = ( -12(-y)^2 - y(-y) ) - ( -12(-1)^2 - y(-1) ) :
= ( -12y^2 + y^2 ) - ( -12 + y )
= ( 12y^2 ) - ( -12 + y )
= 12y^2 + 12 - y
integral0^1 ( 12y^2 + 12 - y ) dy = [ 16y^3 + 12y - 12y^2 ]0^1
= ( 16(1)^3 + 12(1) - 12(1)^2 ) - 0
Agora, integramos em relação a = 16 + 12 - 12 = 16 :

Resposta

Somando as duas regiões, temos:
76 + 16 = 86 = 43
Portanto, o valor da integral é .

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