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Diva Calculo B p7.6.2l
Diva Calculo B p7.6.2l
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de
no intervalo onde
vai de
a
e
vai de
a
. Isso envolve entender integrais duplas e como lidar com funções absolutas. Vamos precisar dividir a área de integração em partes onde a função dentro do valor absoluto muda de sinal, para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar onde
, porque é nesse ponto que o valor absoluto
muda de comportamento. Resolvendo
, temos
. Esse é o limite onde a expressão dentro do valor absoluto passa de negativa para positiva.
Passo 3
Agora, vamos dividir a região de integração em duas partes:
- Onde
(isto é, ) - Onde
(isto é, )
Isso nos ajuda a remover o valor absoluto, já que conhecemos o sinal de
em cada região.
Passo 4
Vamos integrar separadamente em cada região:
Região 1:
Região 2:
Note que na Região 2, tiramos o negativo porque
é negativo nessa área.
Passo 5
Vamos calcular a integral da Região 1 primeiro:
Integramos
em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral da Região 2:
Primeiro, simplificamos o integrando:
Integramos
em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
Somando as duas regiões, temos:
Portanto, o valor da integral é
.