Calcular integral duplaR(x^2+y^2) d x d y onde R é dada por
(a) Círculo centrado na origem de raio a
(b) Círculo centrado em (a, 0) de raio a.
© Círculo centrado em (0, a) de raio a.
Diva Calculo B p7.8.18

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla , onde é um círculo centrado na origem com raio . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são mais convenientes para regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas x = r costheta y = r sintheta para coordenadas polares x^2 + y^2 = r^2 :
Além disso, a expressão fica mais simples em coordenadas polares:

Passo 3

Em coordenadas polares, o elemento de área integral duplaR(x^2+y^2) dx dy = integral0^2pi integral0^a r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^a r^3 , dr , dtheta se transforma em . Portanto, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^a r^3 dr = [r^44]0^a = a^44 :

Passo 5

Agora, resolvemos a integral externa em relação a integral0^2pi a^44 dtheta = a^44 cdot 2pi = a^4pi2 :

Resposta

A integral dupla é igual a .

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