Determine o valor promedio
sobre a região
Thomas 12ed 15.3.19
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui envolve cálculo de valor médio de uma função sobre uma determinada região. A função que temos é
e a região
é um retângulo definido por
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a média de uma função em uma região usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor médio de uma função
sobre uma região
é dado pela fórmula:
Isso significa que a gente vai integrar a função sobre toda a área da região e depois dividir pela própria área da região.
Passo 3
Vamos calcular a área da região
. Como
é um retângulo com limites em
e
, a área é simplesmente a diferença entre os limites de
multiplicada pela diferença entre os limites de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla da função
sobre a região
. Como a função pode ser escrita como
, a gente pode separar as integrais:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais. A integral de
é
. Então:
O mesmo acontece para a integral em
:
Passo 6
Multiplicando os resultados das integrais:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio da função
sobre a região
é igual a 1.