Determine o valor promedio f(x, y) = 1 / (x y) sobre a região
R:{(x, y) | ln(2) <= x <= 2 ln(2), ln(2) <= y <= 2 ln(2)} Thomas 12ed 15.3.19

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui envolve cálculo de valor médio de uma função sobre uma determinada região. A função que temos é e a região é um retângulo definido por e . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a média de uma função em uma região usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor médio de uma função sobre uma região é dado pela fórmula:
éÁ
Isso significa que a gente vai integrar a função sobre toda a área da região e depois dividir pela própria área da região.

Passo 3

Vamos calcular a área da região . Como é um retângulo com limites em e , a área é simplesmente a diferença entre os limites de multiplicada pela diferença entre os limites de :
Á

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla da função sobre a região . Como a função pode ser escrita como , a gente pode separar as integrais:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais. A integral de é . Então:
O mesmo acontece para a integral em :

Passo 6

Multiplicando os resultados das integrais:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do valor médio:
é

Resposta

O valor médio da função sobre a região é igual a 1.

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