Avalie o limite
lim x 0 x^4 cos (1x^3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções que envolvem o cosseno e comportamentos limites quando a variável se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno, -1 <= cos(theta) <= 1 , sempre está limitada entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, para qualquer valor de , o cosseno nunca ultrapassa esses valores.

Passo 3

No nosso caso, temos -1 <= cos(1x^3) <= 1 . Independente do valor de , mesmo que esteja se aproximando de zero e fique muito grande, o cosseno desse valor ainda estará entre -1 e 1:

Passo 4

Agora, multiplicamos todos os termos dessa desigualdade por - x^4 <= x^4 cos(1x^3) <= x^4 . Como é sempre positivo (já que qualquer número real elevado a uma potência par é positivo), a desigualdade mantêm suas dire��ões:

Passo 5

Precisamos agora analisar o limite das extremidades dessa desigualdade quando limx to 0 -x^4 = 0 e limx to 0 x^4 = 0 se aproxima de zero. Calculamos:
Então, tanto quanto tendem a zero quando tende a zero.

Passo 6

Pela regra do Sanduíche (também conhecida como Teorema do Apreçamento), se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então o limite da função intermediária também é esse mesmo valor. Aplicando isso:
limx to 0 x^4 cos(1x^3) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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