Avalie o limite
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções que envolvem o cosseno e comportamentos limites quando a variável se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e usar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno,
, sempre está limitada entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, para qualquer valor de
, o cosseno nunca ultrapassa esses valores.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Independente do valor de
, mesmo que
esteja se aproximando de zero e
fique muito grande, o cosseno desse valor ainda estará entre -1 e 1:
Passo 4
Agora, multiplicamos todos os termos dessa desigualdade por
. Como
é sempre positivo (já que qualquer número real elevado a uma potência par é positivo), a desigualdade mantêm suas dire��ões:
Passo 5
Precisamos agora analisar o limite das extremidades dessa desigualdade quando
se aproxima de zero. Calculamos:
Então, tanto
quanto
tendem a zero quando
tende a zero.
Passo 6
Pela regra do Sanduíche (também conhecida como Teorema do Apreçamento), se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então o limite da função intermediária também é esse mesmo valor. Aplicando isso:
Resposta
O limite
é igual a 0.