Esboce a região e encontre, se possível, o valor da sua área: .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma região no plano cartesiano definida por:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve gráficos de funções e cálculo de áreas usando integrais. A gente vai precisar entender como representar as desigualdades no plano e depois calcular a área da região delimitada por elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as restrições para o valor de . A desigualdade nos diz que varia de um pouco mais que -2 até 0. Ou seja, estamos olhando para a parte do gráfico que está entre e .
Passo 3
Agora, vamos ver o que a desigualdade significa. Ela nos diz que começa no 0 e vai até . Essa função é uma transformação da função , mas deslocada no eixo para a esquerda em 2 unidades.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função para . Quando , o denominador se torna zero, então a função tende ao infinito. Conforme se aproxima de 0, o valor de diminui, já que aumenta.
Passo 5
A região então é a área entre e , e entre e a curva . Para visualizar, desenhamos as linhas verticais em e , e a curva que começa do infinito em e desce até quando .
Passo 6
Para encontrar a área dessa região, vamos usar integrais. A área pode ser calculada integrando a função superior menos a função inferior no intervalo de a . Como a função inferior é 0, a área fica:
Passo 7
Vamos resolver essa integral. Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar:
Se , então . Quando , e quando , . A integral fica: