Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
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Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para construir o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação
. Esse tipo de superfície pertence à geometria analítica e tem algumas características específicas que a gente vai explorar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadricas, identificar os traços (ou seções) dessa equação nos planos coordenados e, por fim, desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Essa é uma equação geral de um hiperboloide de duas folhas. Os hiperboloides de duas folhas têm duas partes separadas que se afastam à medida que se afastam do centro. Eles são diferentes dos hiperboloides de uma folha, que são contínuos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os traços dessa superfície nos planos coordenados. Isso ajuda a visualizar melhor o gráfico.
-
Traço no plano XY (z = 0):
Substituindona equação, temos:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano XY. -
Traço no plano XZ (y = 0):
Substituindo, temos:
Essa equação não tem solução real, porque a soma de dois negativos não pode ser igual a um positivo. Portanto, não há traço no plano XZ. -
Traço no plano YZ (x = 0):
Substituindo, obtemos:
Novamente, essa é a equação de uma hipérbole, agora no plano YZ.
Passo 4
Vamos analisar cada traço:
-
No plano XY: A hipérbole
tem seus ramos abertos na direção positiva do eixo Y. Isso significa que, conforme y aumenta ou diminui, x também pode aumentar, mas de forma limitada pela equação. -
No plano YZ: A hipérbole
também tem seus ramos abertos na direção positiva e negativa do eixo Y, similar ao traço no plano XY. -
No plano XZ: Como não há traço, isso indica que a superfície não corta o plano XZ.
Passo 5
Com esses traços em mente, podemos começar a esboçar o gráfico. O hiperboloide de duas folhas terá duas partes separadas que se abrem à medida que nos afastamos do centro. Cada folha se assemelha a uma hipérbole em três dimensões, seguindo os traços que encontramos nos planos XY e YZ.
- As duas folhas estarão simetricamente distribuídas em relação ao plano YZ.
- Conforme y aumenta ou diminui, os valores de x e z aumentam também, mantendo a equação satisfeita.
- Não haverá interseção com o plano XZ, o que reforça a ideia de duas folhas separadas.
Resposta
O gráfico do hiperboloide de duas folhas dado por
consiste em duas superfícies separadas que se abrem simetricamente ao redor do eixo Y. Seus traços nos planos XY e YZ são hipérboles, enquanto não há interseção com o plano XZ. Dessa forma, o hiperboloide apresenta duas folhas distinctas que se afastam do centro conforme aumentamos os valores de y, x e z seguindo a equação fornecida.
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