Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(f) .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para construir o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação . Esse tipo de superfície pertence à geometria analítica e tem algumas características específicas que a gente vai explorar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadricas, identificar os traços (ou seções) dessa equação nos planos coordenados e, por fim, desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Essa é uma equação geral de um hiperboloide de duas folhas. Os hiperboloides de duas folhas têm duas partes separadas que se afastam à medida que se afastam do centro. Eles são diferentes dos hiperboloides de uma folha, que são contínuos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os traços dessa superfície nos planos coordenados. Isso ajuda a visualizar melhor o gráfico.
  • Traço no plano XY (z = 0):
    Substituindo na equação, temos:

    Essa é a equação de uma hipérbole no plano XY.
  • Traço no plano XZ (y = 0):
    Substituindo , temos:

    Essa equação não tem solução real, porque a soma de dois negativos não pode ser igual a um positivo. Portanto, não há traço no plano XZ.
  • Traço no plano YZ (x = 0):
    Substituindo , obtemos:

    Novamente, essa é a equação de uma hipérbole, agora no plano YZ.

Passo 4

Vamos analisar cada traço:
  • No plano XY: A hipérbole tem seus ramos abertos na direção positiva do eixo Y. Isso significa que, conforme y aumenta ou diminui, x também pode aumentar, mas de forma limitada pela equação.
  • No plano YZ: A hipérbole também tem seus ramos abertos na direção positiva e negativa do eixo Y, similar ao traço no plano XY.
  • No plano XZ: Como não há traço, isso indica que a superfície não corta o plano XZ.

Passo 5

Com esses traços em mente, podemos começar a esboçar o gráfico. O hiperboloide de duas folhas terá duas partes separadas que se abrem à medida que nos afastamos do centro. Cada folha se assemelha a uma hipérbole em três dimensões, seguindo os traços que encontramos nos planos XY e YZ.
  • As duas folhas estarão simetricamente distribuídas em relação ao plano YZ.
  • Conforme y aumenta ou diminui, os valores de x e z aumentam também, mantendo a equação satisfeita.
  • Não haverá interseção com o plano XZ, o que reforça a ideia de duas folhas separadas.

Resposta

O gráfico do hiperboloide de duas folhas dado por consiste em duas superfícies separadas que se abrem simetricamente ao redor do eixo Y. Seus traços nos planos XY e YZ são hipérboles, enquanto não há interseção com o plano XZ. Dessa forma, o hiperboloide apresenta duas folhas distinctas que se afastam do centro conforme aumentamos os valores de y, x e z seguindo a equação fornecida.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes desigualdades
.
Resolva as seguintes desigualdades
.
Esboce a região e encontre, se possível, o valor da sua área: .
Avalie o limite
.