Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
b) Existe uma única solução a, b in Z para a^2+b^2=4.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Existe uma única solução para .” Neste exercício, vamos trabalhar com números inteiros e equações envolvendo quadrados. Precisamos descobrir se há somente um par de números inteiros e que satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação significa. Estamos procurando pares de números inteiros onde o quadrado de somado ao quadrado de resulta em 4.

Passo 3

Sabemos que o quadrado de qualquer número inteiro é um número não negativo. Então, vamos listar os possíveis valores para e que, ao serem elevados ao quadrado, não excedam 4.
Os possíveis valores para e são:
  • (já que )
  • e (já que e )
  • e (já que e )

Passo 4

Agora, vamos testar cada combinação desses valores para ver quais satisfazem a equação :
  1. Quando :
    • ou
    • Soluções: e
  2. Quando ou :
    • Não há número inteiro cujo quadrado seja 3. Portanto, nenhuma solução aqui.
  3. Quando ou :
    • Soluções: e

Passo 5

Juntando todas as soluções encontradas:

Resposta

A afirmação é falsa, pois existem quatro soluções inteiras para a equação .

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