Verifique se os vetores u=(2,1,3), v=(0,1,-1) e w=(4,5,3) são coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se os vetores , e são coplanares. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre vetores no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar calcular o produto misto desses vetores, que nos dirá se eles estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa vetores coplanares. Três vetores são coplanares se eles estiverem todos no mesmo plano. Matematicamente, isso acontece quando o produto misto dos três vetores é igual a zero.

Passo 3

O produto misto pode ser calculado usando o determinante de uma matriz formada pelos três vetores. Então, vamos montar essa matriz com 2 & 0 & 4 1 & 1 & 5 3 & -1 & 3 , e como colunas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. A fórmula do determinante para uma matriz 3x3 é:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det = 2(1 cdot 3 - 5 cdot (-1)) - 0(1 cdot 3 - 5 cdot 3) + 4(1 cdot (-1) - 1 cdot 3)

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
det = 2(3 + 5) - 0(3 - 15) + 4(-1 - 3)
det = 2(8) - 0(-12) + 4(-4)
det = 16 - 0 - 16
det = 0

Resposta

Como o determinante é igual a zero ( ), os vetores , e são coplanares.

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