Diga se o conjunto é uma base para . Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos saber se o conjunto é uma base para o espaço . Para isso, vamos precisar saber sobre base, independência linear e dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linematicamente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , precisamos de dois vetores que sejam independentes para formar uma base.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear dos vetores em . Dois vetores são independentes se nenhum deles é múltiplo escalar do outro. Olhando para e , vemos que , que não é igual a . Então, eles não são múltiplos um do outro.

Passo 4

Outra forma de verificar a independência é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
A matriz é:
O determinante é:
Como , os vetores são independentes.

Passo 5

Como temos dois vetores independentes em , eles geram todo o espaço . Portanto, o conjunto satisfaz os requisitos para ser uma base.

Resposta

Sim, o conjunto é uma base para pois os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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Diga se o conjunto é uma base para . Justifique.