Diga se o conjunto
é uma base para
. Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos saber se o conjunto
é uma base para o espaço
. Para isso, vamos precisar saber sobre base, independência linear e dimensão de espaços vetoriais.
Passo 2
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linematicamente independentes e que geram todo o espaço. No caso de
, precisamos de dois vetores que sejam independentes para formar uma base.
Passo 3
Vamos verificar a independência linear dos vetores em
. Dois vetores são independentes se nenhum deles é múltiplo escalar do outro. Olhando para
e
, vemos que
, que não é igual a
. Então, eles não são múltiplos um do outro.
Passo 4
Outra forma de verificar a independência é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
A matriz é:
O determinante é:
Como
, os vetores são independentes.
Passo 5
Como temos dois vetores independentes em
, eles geram todo o espaço
. Portanto, o conjunto
satisfaz os requisitos para ser uma base.
Resposta
Sim, o conjunto
é uma base para
pois os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.
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Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
b) Existe uma única solução para
.
b) Existe uma única solução
Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
h) Não existem racionais tais que
é irracional.
h) Se é um inteiro e
é um irracional, então
é irracional.
h) Não existem racionais
h) Se
Diga se o conjunto
é uma base para
. Justifique.