Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
h) Não existem racionais
tais que
é irracional.
h) Se
é um inteiro e
é um irracional, então
é irracional.
h) Não existem racionais
h) Se
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que pede para avaliar duas proposições envolvendo números racionais e irracionais. O conteúdo aqui é sobre propriedades desses tipos de números e vamos precisar entender como eles se comportam em operações como potenciação e multiplicação para resolver as questões.
Passo 2
Vamos para a primeira proposição:
h) Não existem racionais
tais que
é irracional.
Isso significa que, segundo a proposição, se
e
são números racionais, então
sempre seria racional. Mas será que isso é verdade?
Na verdade, existe um exemplo que contradiz essa afirmação. Considere
(que é racional) e
(também racional). Então,
Sabemos que
é um número irracional. Portanto, encontramos racionais
e
que resultam em um número irracional quando usados na potenciação. Isso mostra que a proposição não é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda proposição:
h) Se
é um inteiro e
é um irracional, então
é irracional.
Aqui, a proposição afirma que a multiplicação de um número inteiro por um irracional sempre resulta em um número irracional. Vamos ver se isso é verdade.
Pense no caso onde
(que é um número inteiro) e
é qualquer número irracional, digamos
. Então,
O número 0 é racional. Portanto, mesmo que
seja irracional, ao ser multiplicado por zero (um inteiro), o resultado é um número racional. Isso demonstra que a proposição não é verdadeira em todos os casos.
Resposta
Ambas as proposições são falsas.
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Diga se o conjunto
é uma base para
. Justifique.
Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
b) Existe uma única solução para
.
b) Existe uma única solução
Diga se o conjunto
é uma base para
. Justifique.
Diga se o conjunto
é uma base para
. Justifique