Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
h) Não existem racionais tais que é irracional.
h) Se é um inteiro e é um irracional, então é irracional.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que pede para avaliar duas proposições envolvendo números racionais e irracionais. O conteúdo aqui é sobre propriedades desses tipos de números e vamos precisar entender como eles se comportam em operações como potenciação e multiplicação para resolver as questões.

Passo 2

Vamos para a primeira proposição:
h) Não existem racionais tais que é irracional.
Isso significa que, segundo a proposição, se e são números racionais, então sempre seria racional. Mas será que isso é verdade?
Na verdade, existe um exemplo que contradiz essa afirmação. Considere (que é racional) e (também racional). Então,
Sabemos que é um número irracional. Portanto, encontramos racionais e que resultam em um número irracional quando usados na potenciação. Isso mostra que a proposição não é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda proposição:
h) Se é um inteiro e é um irracional, então é irracional.
Aqui, a proposição afirma que a multiplicação de um número inteiro por um irracional sempre resulta em um número irracional. Vamos ver se isso é verdade.
Pense no caso onde (que é um número inteiro) e é qualquer número irracional, digamos . Então,
O número 0 é racional. Portanto, mesmo que seja irracional, ao ser multiplicado por zero (um inteiro), o resultado é um número racional. Isso demonstra que a proposição não é verdadeira em todos os casos.

Resposta

Ambas as proposições são falsas.

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Diga se o conjunto é uma base para . Justifique.
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