Diga se o conjunto
é uma base para
. Justifique.
Passo 1
Vamos ver se o conjunto
é uma base para o espaço
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e verificar se os vetores de
são linearmente independentes e geram todo o espaço
. Vamos usar determinantes para ajudar nessa verificação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores de
como colunas. Isso vai nos ajudar a calcular o determinante e ver se os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
A matriz formada pelos vetores de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz
. O determinante nos diz se os vetores são linearmente independentes. A fórmula para o determinante de uma matriz
é:
Onde
,
,
e
.
Passo 5
Como o determinante
é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes. Ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear do outro.
Passo 6
Como temos dois vetores linearmente independentes em
, isso garante que eles geram todo o espaço
. Portanto, o conjunto
forma uma base para
.
Resposta
O conjunto
é uma base para
.