Diga se o conjunto S é uma base para E=R^2. Justifique.
S=(1,3),(1,-1)

Passo 1

Vamos ver se o conjunto é uma base para o espaço . Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e verificar se os vetores de são linearmente independentes e geram todo o espaço . Vamos usar determinantes para ajudar nessa verificação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores de como colunas. Isso vai nos ajudar a calcular o determinante e ver se os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

A matriz formada pelos vetores de A = 1 & 1 3 & -1 é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a cdot d - b cdot c . O determinante nos diz se os vetores são linearmente independentes. A fórmula para o determinante de uma matriz det(A) = (1)(-1) - (1)(3) = -1 - 3 = -4 é:
Onde , , e .

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes. Ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear do outro.

Passo 6

Como temos dois vetores linearmente independentes em , isso garante que eles geram todo o espaço . Portanto, o conjunto forma uma base para .

Resposta

O conjunto é uma base para .

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