Diga se o conjunto S é uma base para E=R^2. Justifique.
S=(1,5) ;(-2,-10)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto é uma base para o espaço . Aqui, estamos falando de Álgebra Linear, especificamente sobre bases de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os vetores de são linearmente independentes e geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores de A = 1 & -2 5 & -10 em forma de matriz. Colocamos cada vetor como uma coluna da matriz:
Agora, para verificar se os vetores são linearmente independentes, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base para .

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det(A) = (1)(-10) - (-2)(5) = -10 + 10 = 0 :

Passo 4

O determinante deu zero, ou seja, . Isso significa que os vetores em são linearmente dependentes. Em outras palavras, um dos vetores pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar.

Resposta

Como o determinante da matriz formada por é zero, os vetores são linearmente dependentes. Portanto, o conjunto não é uma base para .

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