Diga se o conjunto é uma base para . Justifique

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se o conjunto é uma base para o espaço .
Conteúdo da matéria: Bases e vetores em espaços vetoriais.
O que precisamos: Saber o que é uma base, verificar se os vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço .

Passo 2

Uma base para precisa satisfazer duas condições:
  1. Linearmente independentes: Nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Gerar : A combinação linear dos vetores da base deve conseguir formar qualquer vetor em .
Para verificar isso, vamos montar uma matriz com os vetores de como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam base.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores de :
Agora, vamos calcular o determinante de :

Passo 4

Calculando passo a passo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
Somando todos:

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço .

Resposta

Sim, o conjunto é uma base para porque os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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