Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se o conjunto é uma base para o espaço .
Conteúdo da matéria: Bases e vetores em espaços vetoriais.
O que precisamos: Saber o que é uma base, verificar se os vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço .
Passo 2
Uma base para precisa satisfazer duas condições:
Linearmente independentes: Nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Gerar : A combinação linear dos vetores da base deve conseguir formar qualquer vetor em .
Para verificar isso, vamos montar uma matriz com os vetores de como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam base.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores de :
Agora, vamos calcular o determinante de :
Passo 4
Calculando passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando todos:
Passo 5
Como o determinante é diferente de zero (), isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço .
Resposta
Sim, o conjunto é uma base para porque os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.