Diga se o conjunto S é uma base para E=R^3. Justifique
S=(3,2,2),(-1,2,1),(0,1,0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se o conjunto é uma base para o espaço .
Conteúdo da matéria: Bases e vetores em espaços vetoriais.
O que precisamos: Saber o que é uma base, verificar se os vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço .

Passo 2

Uma base para precisa satisfazer duas condições:
  1. Linearmente independentes: Nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Gerar : A combinação linear dos vetores da base deve conseguir formar qualquer vetor em .
Para verificar isso, vamos montar uma matriz com os vetores de como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam base.

Passo 3

Vamos montar a matriz A = 3 & -1 & 0 2 & 2 & 1 2 & 1 & 0 com os vetores de det(A) = 3 cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 1) - (-1) cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 2) + 0 cdot (2 cdot 1 - 2 cdot 2) :
Agora, vamos calcular o determinante de :

Passo 4

Calculando passo a passo:
  1. Primeiro termo: det(A) = -3 - 2 + 0 = -5
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
Somando todos:

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço .

Resposta

Sim, o conjunto é uma base para porque os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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