Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
d) Se n é um inteiro
e cubo perfeito, então
é primo.
d) Se n é um inteiro
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma proposição que diz: “Se
é um inteiro tal que
e é um cubo perfeito, então
é primo.” Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender o que significa um número ser um cubo perfeito e o que é um número primo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um cubo perfeito. Um número é considerado cubo perfeito se ele pode ser expresso como o cubo de algum número inteiro. Matematicamente, isso significa que existe um inteiro
tal que:
Por exemplo,
é um cubo perfeito porque
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos:
e ele mesmo. Por exemplo,
é primo porque seus únicos divisores são
e
. Já
não é primo porque pode ser dividido por
e
.
Passo 4
Vamos listar todos os números inteiros entre
e
que são cubos perfeitos. Sabemos que:
Vemos que não há números cubos perfeitos entre
e
. O único cubo perfeito próximo é
(
), mas ele está fora do intervalo considerado.
Passo 5
Como não existem números cubos perfeitos no intervalo
, a proposição “Se
é um inteiro
e cubo perfeito, então
é primo” não tem casos em que a hipótese seja verdadeira.
Resposta
A proposição é verdadeira porque não existem números cubos perfeitos entre
e
, tornando a afirmação verdadeira por vacuidade.
Exercícios relacionados
Seja
uma sequência, então
Seja
um operador linear tal que
e
.
(a) Determine
(a) Determine
3 Construa uma matriz
que tenha autovetores
associados, respectivamente, aos autovalores -1 e 2 .
Utilizando vetores, como verificar que três pontos são colineares?