Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
d) Se n é um inteiro e cubo perfeito, então é primo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma proposição que diz: “Se é um inteiro tal que e é um cubo perfeito, então é primo.” Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender o que significa um número ser um cubo perfeito e o que é um número primo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um cubo perfeito. Um número é considerado cubo perfeito se ele pode ser expresso como o cubo de algum número inteiro. Matematicamente, isso significa que existe um inteiro tal que:
Por exemplo, é um cubo perfeito porque .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: e ele mesmo. Por exemplo, é primo porque seus únicos divisores são e . Já não é primo porque pode ser dividido por e .

Passo 4

Vamos listar todos os números inteiros entre e que são cubos perfeitos. Sabemos que:
Vemos que não há números cubos perfeitos entre e . O único cubo perfeito próximo é ( ), mas ele está fora do intervalo considerado.

Passo 5

Como não existem números cubos perfeitos no intervalo , a proposição “Se é um inteiro e cubo perfeito, então é primo” não tem casos em que a hipótese seja verdadeira.

Resposta

A proposição é verdadeira porque não existem números cubos perfeitos entre e , tornando a afirmação verdadeira por vacuidade.

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