Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear . Isso significa que transforma vetores de 3 dimensões em outros vetores de 3 dimensões de forma linear. A gente tem três informações sobre como age em vetores específicos:
A questão (a) pede para determinar . Aqui, provavelmente representa a aplicação linear em um vetor genérico . Para resolver isso, vamos descobrir uma expressão geral para usando as informações fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear pode ser representado por uma matriz. Então, vamos assumir que a matriz de é:
Assim, para qualquer vetor , temos:
Nosso objetivo é encontrar os valores de .
Passo 3
Vamos usar as informações dadas para montar um sistema de equações. Vamos aplicar nos vetores fornecidos e igualar ao que foi dado:
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
Já sabemos que e, da equação , temos:
Sabemos que e, da equação :
Sabemos que e, da equação :
Da equação e sabendo que :
Da equação e sabendo que :
Da equação e sabendo que :
Passo 5
Agora que encontramos todos os valores, podemos montar a matriz de :
Portanto, para um vetor genérico , a aplicação de é: