Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1) e T(0,1,1)=(0,0,1).
(a) Determine I(x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear . Isso significa que transforma vetores de 3 dimensões em outros vetores de 3 dimensões de forma linear. A gente tem três informações sobre como age em vetores específicos:
A questão (a) pede para determinar . Aqui, provavelmente representa a aplicação linear em um vetor genérico . Para resolver isso, vamos descobrir uma expressão geral para usando as informações fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador linear pode ser representado por uma matriz. Então, vamos assumir que a matriz de A = a & b & c d & e & f g & h & k é:
T(x, y, z) = A x y z = a x + b y + c z d x + e y + f z g x + h y + k z
Assim, para qualquer vetor , temos:
Nosso objetivo é encontrar os valores de .

Passo 3

Vamos usar as informações dadas para montar um sistema de equações. Vamos aplicar a(1) + b(0) + c(1) = 1 d(1) + e(0) + f(1) = 1 g(1) + h(0) + k(1) = 0 nos vetores fornecidos e igualar ao que foi dado:
  1. Para a + c = 1 d + f = 1 g + k = 0 :
a(0) + b(1) + c(0) = 1 d(0) + e(1) + f(0) = 0 g(0) + h(1) + k(0) = -1
Simplificando:
b = 1 e = 0 h = -1
  1. Para a(0) + b(1) + c(1) = 0 d(0) + e(1) + f(1) = 0 g(0) + h(1) + k(1) = 1 :
b + c = 0 e + f = 0 h + k = 1
Simplificando:
  1. Para :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
  • Já sabemos que 1 + c = 0 implies c = -1 e, da equação 0 + f = 0 implies f = 0 , temos:
-1 + k = 1 implies k = 2
  • Sabemos que a - 1 = 1 implies a = 2 e, da equação d + 0 = 1 implies d = 1 :
g + 2 = 0 implies g = -2
  • Sabemos que e, da equação :
  • Da equação e sabendo que :
  • Da equação e sabendo que :
  • Da equação e sabendo que :

Passo 5

Agora que encontramos todos os valores, podemos montar a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & k = 2 & 1 & -1 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2 de T(x, y, z) = 2x + y - z x -2x - y + 2z :
Portanto, para um vetor genérico , a aplicação de é:

Resposta

A expressão de I(x, y, z) = T(x, y, z) = 2x + y - z x -2x - y + 2z é:

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