Seja um operador linear tal que e .
(a) Determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear . Isso significa que transforma vetores de 3 dimensões em outros vetores de 3 dimensões de forma linear. A gente tem três informações sobre como age em vetores específicos:
A questão (a) pede para determinar . Aqui, provavelmente representa a aplicação linear em um vetor genérico . Para resolver isso, vamos descobrir uma expressão geral para usando as informações fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador linear pode ser representado por uma matriz. Então, vamos assumir que a matriz de é:
Assim, para qualquer vetor , temos:
Nosso objetivo é encontrar os valores de .

Passo 3

Vamos usar as informações dadas para montar um sistema de equações. Vamos aplicar nos vetores fornecidos e igualar ao que foi dado:
  1. Para :
Simplificando:
  1. Para :
Simplificando:
  1. Para :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
  • Já sabemos que e, da equação , temos:
  • Sabemos que e, da equação :
  • Sabemos que e, da equação :
  • Da equação e sabendo que :
  • Da equação e sabendo que :
  • Da equação e sabendo que :

Passo 5

Agora que encontramos todos os valores, podemos montar a matriz de :
Portanto, para um vetor genérico , a aplicação de é:

Resposta

A expressão de é:

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