associados, respectivamente, aos autovalores -1 e 2 .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos construir uma matriz A2 times 2. O objetivo é que essa matriz tenha dois autovetores específicos, 1 -1 e 0 1, associados aos autovalores -1 e 2, respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores e a definição de como uma matriz atua sobre esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Dada uma matriz A, um vetor não nulo v é um autovetor de A se existir um escalar lambda tal que:
A cdot v = lambda cdot v
Aqui, lambda é o autovalor correspondente ao autovetor v.
Passo 3
Vamos representar a matriz A como:
A = a & b c & d
Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b, c e d que satisfazem as condições dadas pelos autovalores e autovetores.
Passo 4
Primeiro, consideramos o autovetor 1 -1 com autovalor -1. Aplicando a definição de autovalor e autovetor:
A cdot 1 -1 = -1 cdot 1 -1
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
a cdot 1 + b cdot (-1) = -1 c cdot 1 + d cdot (-1) = 1
Simplificando:
a - b = -1 c - d = 1
Passo 5
Agora, consideramos o segundo autovetor 0 1 com autovalor 2:
A cdot 0 1 = 2 cdot 0 1
Isso nos dá outro sistema de equações:
a cdot 0 + b cdot 1 = 0 c cdot 0 + d cdot 1 = 2
Simplificando:
b = 0 d = 2
Passo 6
Com b = 0 e d = 2, voltamos ao sistema anterior:
a - 0 = -1 c - 2 = 1
Resolvendo:
a = -1 c = 3
Passo 7
Agora temos todos os valores para os elementos da matriz A: