3 Construa uma matriz A2 * 2 que tenha autovetores
|c 1 -1 | e |l 0 1 |
associados, respectivamente, aos autovalores -1 e 2 .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos construir uma matriz A2 times 2. O objetivo é que essa matriz tenha dois autovetores específicos, 1 -1 e 0 1, associados aos autovalores -1 e 2, respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores e a definição de como uma matriz atua sobre esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Dada uma matriz A, um vetor não nulo v é um autovetor de A se existir um escalar lambda tal que:
A cdot v = lambda cdot v
Aqui, lambda é o autovalor correspondente ao autovetor v.

Passo 3

Vamos representar a matriz A como:
A = a & b c & d
Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b, c e d que satisfazem as condições dadas pelos autovalores e autovetores.

Passo 4

Primeiro, consideramos o autovetor 1 -1 com autovalor -1. Aplicando a definição de autovalor e autovetor:
A cdot 1 -1 = -1 cdot 1 -1
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
a cdot 1 + b cdot (-1) = -1 c cdot 1 + d cdot (-1) = 1
Simplificando:
a - b = -1 c - d = 1

Passo 5

Agora, consideramos o segundo autovetor 0 1 com autovalor 2:
A cdot 0 1 = 2 cdot 0 1
Isso nos dá outro sistema de equações:
a cdot 0 + b cdot 1 = 0 c cdot 0 + d cdot 1 = 2
Simplificando:
b = 0 d = 2

Passo 6

Com b = 0 e d = 2, voltamos ao sistema anterior:
a - 0 = -1 c - 2 = 1
Resolvendo:
a = -1 c = 3

Passo 7

Agora temos todos os valores para os elementos da matriz A:
a = -1, b = 0, c = 3, d = 2
Portanto, a matriz A é:
A = -1 & 0 3 & 2

Resposta

A matriz que satisfaz as condições dadas é:
A = -1 & 0 3 & 2

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