3 Construa uma matriz que tenha autovetores
associados, respectivamente, aos autovalores -1 e 2 .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos construir uma matriz . O objetivo é que essa matriz tenha dois autovetores específicos, e , associados aos autovalores -1 e 2, respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores e a definição de como uma matriz atua sobre esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Dada uma matriz , um vetor não nulo é um autovetor de se existir um escalar tal que:
Aqui, é o autovalor correspondente ao autovetor .

Passo 3

Vamos representar a matriz como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem as condições dadas pelos autovalores e autovetores.

Passo 4

Primeiro, consideramos o autovetor com autovalor -1. Aplicando a definição de autovalor e autovetor:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Simplificando:

Passo 5

Agora, consideramos o segundo autovetor com autovalor 2:
Isso nos dá outro sistema de equações:
Simplificando:

Passo 6

Com e , voltamos ao sistema anterior:
Resolvendo:

Passo 7

Agora temos todos os valores para os elementos da matriz :
Portanto, a matriz é:

Resposta

A matriz que satisfaz as condições dadas é:

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e .