associados, respectivamente, aos autovalores -1 e 2 .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos construir uma matriz . O objetivo é que essa matriz tenha dois autovetores específicos, e , associados aos autovalores -1 e 2, respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores e a definição de como uma matriz atua sobre esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Dada uma matriz , um vetor não nulo é um autovetor de se existir um escalar tal que:
Aqui, é o autovalor correspondente ao autovetor .
Passo 3
Vamos representar a matriz como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem as condições dadas pelos autovalores e autovetores.
Passo 4
Primeiro, consideramos o autovetor com autovalor -1. Aplicando a definição de autovalor e autovetor:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Simplificando:
Passo 5
Agora, consideramos o segundo autovetor com autovalor 2:
Isso nos dá outro sistema de equações:
Simplificando:
Passo 6
Com e , voltamos ao sistema anterior:
Resolvendo:
Passo 7
Agora temos todos os valores para os elementos da matriz :