Utilizando vetores, como verificar que três pontos são colineares?
Passo 1
Vamos resumir o que você quer saber: precisamos descobrir como, usando vetores, verificar se três pontos são colineares, ou seja, se estão alinhados em uma mesma reta. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, como a operação de vetores e a verificação de dependência linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que três pontos são colineares. Três pontos
,
e
estão alinhados se a direção de
é a mesma de
. Em termos de vetores, isso significa que os vetores
e
são colinear, ou seja, um é múltiplo escalar do outro.
Passo 3
Vamos definir os vetores
e
. Se os pontos têm coordenadas
,
e
, então:
Passo 4
Agora, para verificar se
e
são colineares, verificamos se existe um número real
tal que:
Isso significa que cada componente de
deve ser igual a
vezes a correspondente componente de
.
Passo 5
Vamos igualar as componentes:
Resolvendo para
nas duas equações:
Passo 6
Se os valores de
encontrados nas duas equações forem iguais, então existe um único
que satisfaz ambas, o que confirma que
e
são colineares. Portanto, os pontos
,
e
são colineares.
Resposta
Três pontos são colineares se os vetores que ligam um ponto a outro são múltiplos escalar entre si. Calculando os vetores
e
e verificando se existe um
tal que
, confirmamos a colinearidade dos pontos.