Utilizando vetores, como verificar que três pontos são colineares?
Passo 1
Vamos resumir o que você quer saber: precisamos descobrir como, usando vetores, verificar se três pontos são colineares, ou seja, se estão alinhados em uma mesma reta. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, como a operação de vetores e a verificação de dependência linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que três pontos são colineares. Três pontos , e estão alinhados se a direção de é a mesma de . Em termos de vetores, isso significa que os vetores e são colinear, ou seja, um é múltiplo escalar do outro.
Passo 3
Vamos definir os vetores e . Se os pontos têm coordenadas , e , então:
Passo 4
Agora, para verificar se e são colineares, verificamos se existe um número real tal que:
Isso significa que cada componente de deve ser igual a vezes a correspondente componente de .
Passo 5
Vamos igualar as componentes:
Resolvendo para nas duas equações:
Passo 6
Se os valores de encontrados nas duas equações forem iguais, então existe um único que satisfaz ambas, o que confirma que e são colineares. Portanto, os pontos , e são colineares.
Resposta
Três pontos são colineares se os vetores que ligam um ponto a outro são múltiplos escalar entre si. Calculando os vetores e e verificando se existe um tal que , confirmamos a colinearidade dos pontos.