Utilizando vetores, como verificar que três pontos são colineares?

Passo 1

Vamos resumir o que você quer saber: precisamos descobrir como, usando vetores, verificar se três pontos são colineares, ou seja, se estão alinhados em uma mesma reta. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, como a operação de vetores e a verificação de dependência linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que três pontos são colineares. Três pontos , e estão alinhados se a direção de é a mesma de . Em termos de vetores, isso significa que os vetores e são colinear, ou seja, um é múltiplo escalar do outro.

Passo 3

Vamos definir os vetores AB = (xB - xA, yB - yA) e AC = (xC - xA, yC - yA) . Se os pontos têm coordenadas , e , então:

Passo 4

Agora, para verificar se AB = k cdot AC e são colineares, verificamos se existe um número real tal que:
Isso significa que cada componente de deve ser igual a vezes a correspondente componente de .

Passo 5

Vamos igualar as componentes:
xB - xA = k cdot (xC - xA)
yB - yA = k cdot (yC - yA)
Resolvendo para k = xB - xAxC - xA nas duas equações:
k = yB - yAyC - yA

Passo 6

Se os valores de encontrados nas duas equações forem iguais, então existe um único que satisfaz ambas, o que confirma que e são colineares. Portanto, os pontos , e são colineares.

Resposta

Três pontos são colineares se os vetores que ligam um ponto a outro são múltiplos escalar entre si. Calculando os vetores e e verificando se existe um tal que , confirmamos a colinearidade dos pontos.

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