Seja (ai) uma sequência, então
sumi=1^n ai+1-ai=an+1-a1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência e queremos mostrar que a soma é igual a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma telescópica, que é uma técnica onde muitos termos se cancelam ao somar a sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma completa:
sumi=1^n (ai+1 - ai) = (a2 - a1) + (a3 - a2) + dots + (an+1 - an)
Aqui, expandimos a soma para ver todos os termos individualmente.

Passo 3

Observando a soma expandida, percebemos que muitos termos se cancelam. Vamos destacar isso:
(a2 - a1) + (a3 - a2) + (a4 - a3) + dots + (an+1 - an)
Os termos , , , , , etc., se cancelam mutuamente.

Passo 4

Após o cancelamento, restam apenas os primeiros e os últimos termos da soma:
an+1 - a1
Isso mostra que todos os termos intermediários se cancelaram, deixando apenas a diferença entre e .

Resposta

Portanto, temos que:
sumi=1^n (ai+1 - ai) = an+1 - a1

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