Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear que leva um vetor para outro vetor através de uma regra específica. O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e transformações lineares. Precisamos encontrar a matriz inversa de , ou seja, a matriz tal que desfaz a transformação feita por . Nosso objetivo é descobrir o valor da entrada dessa matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação linear . A transformação dada é:
Podemos escrever isso na forma matricial , onde e é a matriz de transformação. Então, a matriz é:
Passo 3
Agora, para encontrar a matriz inversa , precisamos primeiro verificar se é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Calculando o determinante:
Como o determinante de é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível.
Passo 4
Agora, vamos calcular a matriz adjunta de . A adjunta é a matriz dos cofatores transpostos. Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores:
Calculando cada cofator:
Então, a matriz dos cofatores é:
A adjunta de é a transposta dessa matriz:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da matriz inversa:
Sabemos que , então:
Passo 6
Finalmente, queremos encontrar o valor da entrada da matriz inversa . Observando a matriz inversa que calculamos:
A entrada é o elemento na primeira linha e primeira coluna, que é -1.