Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-2 x-3 y+2 z,-x-2 y+z, 2 x+3 y-z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b11 vale:
(A) -6
(B) -5
© -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear que leva um vetor para outro vetor através de uma regra específica. O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e transformações lineares. Precisamos encontrar a matriz inversa de , ou seja, a matriz tal que desfaz a transformação feita por . Nosso objetivo é descobrir o valor da entrada dessa matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação linear T(x, y, z) = (-2x - 3y + 2z, -x - 2y + z, 2x + 3y - z) . A transformação dada é:
x y z
Podemos escrever isso na forma matricial A = -2 & -3 & 2 -1 & -2 & 1 2 & 3 & -1 , onde e é a matriz de transformação. Então, a matriz é:

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz inversa det(A) = -2 & -3 & 2 -1 & -2 & 1 2 & 3 & -1 , precisamos primeiro verificar se det(A) = -2 cdot (-2 cdot (-1) - 1 cdot 3) - (-3) cdot (-1 cdot (-1) - 1 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 3 - (-2) cdot 2) é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de = -2 cdot (2 - 3) - (-3) cdot (1 - 2) + 2 cdot (-3 + 4) :
= -2 cdot (-1) - (-3) cdot (-1) + 2 cdot (1)
Calculando o determinante:
= 2 - 3 + 2 = 1
Como o determinante de é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível.

Passo 4

Agora, vamos calcular a matriz adjunta de Cof(A) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 . A adjunta é a matriz dos cofatores transpostos. Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores:
C11 = -2 & 1 3 & -1 = (-2)(-1) - (1)(3) = 2 - 3 = -1
Calculando cada cofator:
C12 = - -1 & 1 2 & -1 = -[(-1)(-1) - (1)(2)] = -[1 - 2] = -(-1) = 1
C13 = -1 & -2 2 & 3 = (-1)(3) - (-2)(2) = -3 + 4 = 1
C21 = - -3 & 2 3 & -1 = -[(-3)(-1) - (2)(3)] = -[3 - 6] = -(-3) = 3
C22 = -2 & 2 2 & -1 = (-2)(-1) - (2)(2) = 2 - 4 = -2
C23 = - -2 & -3 2 & 3 = -[(-2)(3) - (-3)(2)] = -[-6 + 6] = -0 = 0
C31 = -3 & 2 -2 & 1 = (-3)(1) - (2)(-2) = -3 + 4 = 1
C32 = - -2 & 2 -1 & 1 = -[(-2)(1) - (2)(-1)] = -[-2 + 2] = -0 = 0
C33 = -2 & -3 -1 & -2 = (-2)(-2) - (-3)(-1) = 4 - 3 = 1
Cof(A) = -1 & 1 & 1 3 & -2 & 0 1 & 0 & 1
Então, a matriz dos cofatores é:
Adj(A) = -1 & 3 & 1 1 & -2 & 0 1 & 0 & 1
A adjunta de é a transposta dessa matriz:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da matriz inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Sabemos que A^-1 = 1 cdot Adj(A) = Adj(A) = -1 & 3 & 1 1 & -2 & 0 1 & 0 & 1 , então:

Passo 6

Finalmente, queremos encontrar o valor da entrada B = A^-1 = -1 & 3 & 1 1 & -2 & 0 1 & 0 & 1 da matriz inversa . Observando a matriz inversa que calculamos:
A entrada é o elemento na primeira linha e primeira coluna, que é -1.

Resposta

(F) -1

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