Avalie as seguintes integrais definidas. integral-1^2(2+3 t)^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-1^2(2+3t)^2 , dt. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com a integração de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar expandir o polinômio dentro da integral e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (2 + 3t)^2. Lembra que (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2? Então:
(2 + 3t)^2 = 2^2 + 2 cdot 2 cdot 3t + (3t)^2 = 4 + 12t + 9t^2

Passo 3

Agora, substituímos a expressão expandida na integral:
integral-1^2 (4 + 12t + 9t^2) , dt
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Integrando cada termo:
  • A integral de 4 em relação a t é 4t.
  • A integral de 12t em relação a t é 6t^2.
  • A integral de 9t^2 em relação a t é 3t^3.
Então, a antiderivada é:
4t + 6t^2 + 3t^3

Passo 5

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração, de t = -1 até t = 2:
[4(2) + 6(2)^2 + 3(2)^3] - [4(-1) + 6(-1)^2 + 3(-1)^3]
Calculando cada parte:
Para t = 2:
4(2) = 8
6(2)^2 = 6 times 4 = 24
3(2)^3 = 3 times 8 = 24
Total: 8 + 24 + 24 = 56
Para t = -1:
4(-1) = -4
6(-1)^2 = 6 times 1 = 6
3(-1)^3 = 3 times (-1) = -3
Total: -4 + 6 - 3 = -1

Resposta

A integral definida é:
56 - (-1) = 57

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