Avalie as seguintes integrais definidas. integral-pi / 3^pi / 3 2 cos (x / 2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida . Isso tá ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na parte de integrais definidas. Pra resolver isso, a gente vai precisar saber como integrar funções trigonométricas, especialmente o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: 2 integral-pi / 3^pi / 3 cos (x2) dx . A constante 2 pode ser fatorada para fora da integral, então fica mais fácil de trabalhar:
Isso simplifica nossa conta e deixa claro que vamos multiplicar o resultado final por 2.

Passo 3

Agora, vamos integrar integral cos(kx) dx = 1k sin(kx) + C em relação a integral cos (x2) dx = 112 sin (x2) + C = 2 sin (x2) + C . A regra básica da integral de é:
No nosso caso, . Então:

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 2 [ 2 sin (x2) ]-pi / 3^pi / 3 = 4 [ sin (pi6) - sin (-pi6) ] a 4 [ 12 - (-12) ] = 4 [ 1 ] = 4 na antiderivada que encontramos:
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor da integral é 4.

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