Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente às equações separáveis. Para resolver, a gente vai precisar separar as variáveis
e
e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos multiplicar ambos os lados por
e por
para separar os termos que envolvem
dos que envolvem
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar a relação entre
e
.
Primeiro, integramos o lado esquerdo em relação a
:
Em seguida, integramos o lado direito em relação a
:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Para simplificar, podemos combinar as constantes de integração em uma única constante
. Assim, temos:
Passo 5
Finalmente, podemos resolver para
se quisermos expressar a solução de forma explícita. Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos renomear
como apenas
, já que é uma constante arbitrária:
E, se preferir, tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante arbitrária.
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