Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
(a) y' = t^2 / y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente às equações separáveis. Para resolver, a gente vai precisar separar as variáveis e e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos multiplicar ambos os lados por e por para separar os termos que envolvem dos que envolvem :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar a relação entre e .
Primeiro, integramos o lado esquerdo em relação a :
Em seguida, integramos o lado direito em relação a :
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Para simplificar, podemos combinar as constantes de integração em uma única constante . Assim, temos:

Passo 5

Finalmente, podemos resolver para se quisermos expressar a solução de forma explícita. Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos renomear como apenas , já que é uma constante arbitrária:
E, se preferir, tirar a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante arbitrária.

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