Avalie as seguintes integrais definidas. integral0^pi / 4 sen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer avaliar a integral definida . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar a função seno e como aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar a função integral sin kx , dx = -1k cos kx + C , onde integral sin 2x , dx = -12 cos 2x + C é uma constante. A integral de em relação a é:
Aqui, é a constante de integração. No nosso caso, , então a integral de será:

Passo 3

Agora que temos a primitiva, vamos aplicar os limites de integração de [ -12 cos 2x ]0^pi/4 = -12 cos (2 cdot pi4) - (-12 cos 0) a . Isso significa que vamos calcular o valor da primitiva nos dois limites e subtrair:

Passo 4

Vamos simplificar os termos dentro do cosseno:
2 cdot pi4 = pi2
E também sabemos que -12 cdot 0 - (-12 cdot 1) = 0 + 12 = 12 e . Substituindo esses valores:

Resposta

A integral definida é igual a .

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