Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que temos aqui:
Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a função solução.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
e
:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Comparando os dois lados:
Simplificando, temos:
Integrando em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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