Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: [1.5 pt](2xy - e^y - x) dx + (x^2 - y - xe^y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que temos aqui:
Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a função solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções e :

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Comparando os dois lados:
Simplificando, temos:
Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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